2018年12月28日

來自半世紀前的數學預言

劉柏宏/勤益科技大學基礎通識教育中心教授。

半世紀前,《科學月刊》創刊號收錄王九逵教授〈數學探津兼論數學的形式主義〉一文(以下簡稱探津),是本刊物的第一篇科普文章,有其歷史意義。該文一開始便以反喻的方式奉勸哲學家、科學家和文學家們不要閱讀本文,這和達文西曾言:「如果你不是數學家,不要讀我的著作。」一樣吊足讀者胃口,引人好奇。透過這段楔子,王教授實際上是開宗明義指出,數學不僅是科學,更是哲學和文學。文章千古事,歷經半世紀之後拜讀這篇文章,不得不佩服王教授的前瞻慧眼。為何這麼說呢?且請讀者繼續看下去。

問題是數學的靈魂
王教授認為「問題是數學的靈魂」,這觀點不僅比已故的哈默斯(Paul Halmos)所說「問題是數學的心臟」還要早10年提出,而且更居上位。1900年希爾伯特(David Hilbert)在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會中提出23個待解的指標性問題,簡稱希爾伯特問題。經過1世紀後,克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)一樣選在巴黎宣布21世紀需要解決的7大數學難題,並為每個問題提供100萬美元的破解獎金,稱為千禧大獎難題(Millennium Prize Problems)。目前,希爾伯特問題已有8個被解決,千禧大獎難題中的龐加萊猜想也已被破解,這些都標誌著數學的重大進展,因此不管是「靈魂說」還是「心臟說」,問題為數學前進的驅動力這點是毋庸置疑的。而王教授在文章中挑出4個當時尚未解決的知名數學問題:費馬最後問題、孿生質數問題、哥德巴赫猜想和四色問題做闡述,讓讀者了解他的說法。文中並沒有說明此4項是如何在諸多待解問題中選擇,不過,歷經50年後4個問題至今都已經獲得重大進展,甚至已經解決。

哥德巴赫猜想〔註一〕已長懸276年,最接近的成果是1973年由陳景潤提出的「任1個夠大的偶數都可以表示成2個質數的和,或表示成1個質數及1個不超過2個質數乘積值的和」。1976年阿佩爾(Kenneth Appel)和哈肯(Wolfgang Haken)提出四色問題〔註二〕的電腦版本證明。即使尚缺乏數學演繹式證明,但四色定理已獲學界廣泛認可。費馬最後問題〔註三〕已於1995年被懷爾斯(Andrew Wiles)扶正為費馬最後定理。至於孿生質數問題〔註四〕則於2013年被張益唐所證明的結果:「差距小於7000萬的質數數對有無限多組」逼近一大步,目前最新的結果是:「差距小於246的質數數對有無限多組」。誠如探津一文所說:「源源而來的新問題,維持了數學的生機與發展,使數學永保茁壯。」更重要的是,雖然有些問題還沒有解決,但其過程「比問題的解決,恐怕還要有意義」。......【更多內容請閱讀科學月刊第589期】


〔註一〕哥德巴赫猜想:
任一個大於2的偶數都可表示成2個質數之和。
〔註二〕四色問題:
只用4種顏色就可將平面上任一有限區域鄰接的圖形著色,使每兩個鄰接區域顏色都不一樣。
〔註三〕費馬最後問題:
當n大於等於3時,xn+yn=zn沒有整數解。
〔註四〕孿生質數問題:
差距為2的質數數對有無限多組。

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