2018年10月28日

海德堡論壇、阿蒂亞與黎曼猜想

游森棚/任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。

上(9)月,在網路上最火紅的數學消息是數學家阿蒂亞(Michael Atiyah)宣稱他證明了黎曼猜想。

海德堡桂冠論壇
讓我們從海德堡桂冠論壇(Heidelberg Laureate Forum)說起。

德國最古老的大學──海德堡大學,創設於神聖羅馬帝國時代的1386年。海德堡雖是一個規模不大的大學城,卻一直是夙負盛名的學術重鎮。根據統計,截至去(2017)年底為止已有27位諾貝爾獎得主曾於此求學或研究,這個比例令人咋舌。

諾貝爾獎沒有數學獎,也沒有電腦科學獎,但是沒有人能夠否定這2個學門的重要性,於是數學有了費爾茲獎(Fields Medal)與阿貝爾獎(Abel Prize),而電腦科學有了圖靈獎(Turing Award)。

諾貝爾獎有個歷史悠久的林道桂冠論壇(Lindau Nobel Laureate),從1950年起,年年在德國林道舉辦。這個論壇每年邀請數位諾貝爾獎得主與數百個年輕研究人員直接對話,對於在科學路上剛起步的年輕學者,這是非常大的激勵。

但是,數學和電腦科學就是一直跟諾貝爾獎無關啊!因此,經由一些機構的倡議,終於在2013年9月底,海德堡桂冠論壇開辦。第一屆邀請了7位費爾茲獎與阿貝爾獎得主與 27 位圖靈獎得主,加上200多名世界各地的年輕研究人員,自此之後年年開辦至今。
能夠被邀請去海德堡桂冠論壇演講的,都已經是數學或電腦科學領域的超級大師,學術地位無庸置疑。他們的演講通常也都不談細節,而是一個領域重要問題或是大方向。

這個論壇雖然是數學與電腦科學界的年度盛事之一,但是,圈外人基本上是完全沒聽過的。然而,今(2018)年卻因為數學家阿蒂亞的大膽宣言,海德堡論壇突然知名度大增。阿蒂亞公布的演講題目是「黎曼猜想(The Riemann Hypothesis)」,接著在演講公告的摘要裡寫著,他用了「根本全新(radical)」的方法證明了黎曼猜想。

黎曼ζ函數與黎曼猜想
如果對數學家做問卷調查,當今最重要的數學猜想是什麼?黎曼猜想鐵定會得到多數的票數。

概念上要理解這個猜想非常容易。首先把-2代進去函數f(x)=x^2+3x+2會等於零,則-2就是函數f(x)的零點。黎曼(Bernhard Riemann,1826~1866)提出的猜想就是在猜「哪些值」代進去一個特別的函數(現在稱為黎曼ζ函數,記為ζ(s))後會等於零,如此而已。

函數ζ(s)的概念也是容易理解的。在微積分中,會學到歐拉(Leonhard Euler,1707~1783)神奇的平方數倒數和:
把「次方」改成變數,就是黎曼ζ函數:
首先研究這個函數的是歐拉。他發現了ζ(s)與質數的漂亮聯繫(也因此,此函數在數論的研究中扮演了重要的角色):

 ......【更多內容請閱讀科學月刊第587期】

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