2018年5月30日

「黃金比例」 在日常生活中的應用

蘇明德/英國劍橋大學理論化學博士,現任國立嘉義大學應用化學系和高雄醫學大學醫藥暨應用化學系合聘教授。

在日常生活中,好好運用「黃金比例」,可以幫助我們立於不敗之地。

圖一

「黃金比例(the golden ratio)」又叫「黃金分割律」。以圖一為例,有一直線AB在C點被一分為二,《幾何原本》的作者歐幾里德曾對黃金比例做定義:(長段÷短段)=(全長÷長段)。換句話說,從上圖中我們可得到以下的式子:


把其中較短的線段CB的長度定為1個單位,較長的線段AC的長度定為x單位。於是,我們得出以下式子:


把兩端各乘以x,我們得到x2=x+1,或者得到這個簡單的二次代數方程式:


這兩個黃金比例方程式的解是:


其中之一的這個正解(1+√5)/2= 1.6180339887……或者是|(1-√5)/2|=0.6180339887,皆可視為是黃金比例之值。

黃金比例的數字有幾個獨一無二的特性。假設x =(1+√5)/2=1.6180339887,這個數字平方時,即x2=2.6180339887,而它的倒數1/x=0.6180339887……,注意到沒有?不論是平方(x2)還是倒數(1/x),x、1/x、x2,所有在小數點後面的數字都相同。也就是說,當x=1.6180339887……時,把此x加1,則得到它的平方(x2);把此x減1,則得到它的倒數(1/x),也等於x的另一解(|(1-√5)/2|= 0.6180339887……)

從兔子的繁殖、玫瑰花瓣的排列(圖二)、鸚鵡螺紋路、鳳梨的外皮鱗片到巨大星系、繪畫與詩歌的創作,和股市指數的波動與流行的美體雕塑之間究竟有何關聯?答案皆是:1.6180339887……,也就是「黃金比例」這個數字。黃金比例的趣味或許在於它跳脫了最原始的幾何意義,從數學延伸至繪畫、建築、音樂,乃至發展成為對完美人體身形比例的終極追求,搖身一變成定奪感官之美或和諧之美的最高裁判官,相較於多數人可以朗朗上口的π值(=3.14159……),黃金比例顯然與我們日常生活的關係更為密切。

圖二:玫瑰花的花瓣。(Pixabay)

2500年前,古希臘學者畢達哥拉斯(Pythagoras)為了擺脫暴政,移居義大利半島南部的城市,在那裡組織了一個政治、宗教、數學合一的秘密團體。畢達哥拉斯提出了黃金比例概念,並利用尺規作圖、準確地對線段進行「黃金比例」,做出了正五角星。2500年來,很多人在美學和數學方面用黃金比例解釋各種自然問題,並在科學研究中利用黃金比例設計試驗方案。本文則提出黃金比例在天文、地理和生命科學中的發現。為了使讀者瞭解黃金比例的概念和相關歷史,先對前人的研究做一個概括性的總結。

黃金比例研究歷史
黃金比例觀念的產生和正五邊形、正十邊形作圖,具有相當大的關聯性;有趣的是,畢達哥拉斯把黃金比例應用在音樂理論上。傳說畢達哥拉斯有一次路過鐵匠作坊,被叮叮噹噹的打鐵聲迷住了。他走進作坊,測量了鐵砧和鐵錘敲打位置的尺寸,發現當它們的比例正好是1:0.618時,聲調最和諧優美。畢達哥拉斯也進一步闡明了打擊樂或弦樂的樂音與弦長的關係,而成為音樂理論的鼻祖。

中世紀以後,黃金比例更披上了神秘的外衣。數學家帕喬利(Luca Pacioli)稱黃金比例為「神聖比例」;天文學家克卜勒(Johanes Kepler)則稱黃金比例為「神聖分割」,並說:「幾何學有兩大寶藏,一個是『畢氏定理(為畢達哥拉斯首先證明)』,一個是『黃金比例』。前者有如珠玉,後者好比黃金。」

有些人提出長寬比為1:0.618的矩形是最好看的,並出現了以維隆(Jaques Vilon)為首關心幾何形狀比例和勻稱立體派的畫家集團,歷史上稱他們是黃金比例畫派。1876年,德國心理學家費希納(Gustav Theoder Fechner)做過大量實驗統計工作,結果認為黃金矩形最美的選票遠遠超過眾多其它矩形,佔全體選票的三分之一以上。

做為藝術的建築,常常具有特定比例所構成的形式美。文藝復興時期的西方理論家和藝術家普遍認為:黃金比例是建築藝術必須遵循的準則。事實上,古希臘的巴底隆神廟嚴整的大理石柱廊,就是根據「黃金比例」的原則分割了整個神廟,才使這座神廟成為人們心目中威力、繁榮和美德的最高象徵。著名的法國巴黎之艾菲爾鐵塔,其第二層之下與第二層之比是0.618。又比如:加拿大多倫多的電視塔,其樓閣之上與樓閣之下的長度之比也是0.618。在歐美國家,書本、報紙、窗框等等矩形採用這個黃金比例更是司空見慣。

黃金比例在科學技術上的應用,最著名的例子要算優選法中的「0.618法」了。它是古老的「黃金比例」之樹開出的現代技術的絢麗花朵。美國人基弗(Jack Carl Kiefer)在1953年提出並證明了「0.618法」,這個方法把試驗點選擇在經驗範圍的0.618處,以及該點的對稱點,即上述範圍的0.382處,比較兩次試驗結果的好壞,然後丟去壞點(0.39887……)以外部分,在剩餘範圍內繼續找保留點的對稱點,繼續試驗、比較和取捨。用這種方法可以迅速地逼近至最佳點。由於在科學試驗、工程設計、生產工藝和各類規劃、決策與管理等許多工作中,常常要制訂最優方案,「0.618法」是合理地尋求最優方案的有效方法。1970年代中國著名數學家華羅庚倡議在中國推廣包括「0.618法」在內的優選法,隨後取得了很好的成績。優選法中的另一種方法:分數法,是以義大利數學家斐波那奇(Leonardo Fibonacci)的名字命名的分數數列作為依據的,如下所示:


這個數列記載在1228年《算盤書》修訂本上,是斐波那契研究兔子繁殖問題而發現的。奇妙的是,1953年基弗證明了這個數列的極限恰恰是黃金比例」數|(1-√5)/2|,即0.618。

天文地理現象中的「黃金比例」
人是自然界進化的產物,考察人的生理特徵必須先考查生存環境。這種系統論的研究方法是解釋諸多奇妙現象的依據。

中國自漢武帝元封七年頒行太初曆,就採用平支紀年來標記天、地、氣60年的週期了。中醫繼此創五運六氣學說,從廣袤的時空角度描述了天地人的統一。《黃帝內經素問》對六十甲子年氣運週期的結構,做了簡要說明:「天以六為節,地以五為制。周天氣者,六期為一備,終地紀者,五歲為一周。……五六相合而七百二十氣,為一紀,凡三十歲;千四百四十氣,凡六十歲,而為一週,不及太過,斯皆見矣。」指出天之氣的變化,6年為一週,地之氣的變化,5年為一週,二者會合週期為30年。60年是天地之變化的完整週期。用現代天文學知識計算,若以冬至點為參照系的日地月三體運動,最小相似週期為742.1個朔望月,即約60年零3天,朔望月與回歸年的會合週期為30年,這與中國古代計算方法相一致。中國農曆兼有陰曆月和陽曆年的性質,平均將近19年安置7個閏月。19這個數字有特殊意義,天文地理的很多變化現象與它有關。19又是11與8的和,11年是太陽黑子活動的平均週期,而8年是太陽黑子活動的偶數週期與奇數週期過渡時,地球物理現象出現極值的平均週期。「天之氣」、「地之氣」變化的會合週期(即朔望月與回歸年的會合週期)30年的0.618恰為19年(精確到1年,置7閏的19年也是近似數,11年、8年做為週期都是近似數)。

月球是距離地球最近的星球。月球平均密度為3.4公克∕立方公分,地球平均密度為5.5公克∕立方公分。這兩個星球平均密度之比恰為0.618。

大氣層的高度可以伸展到幾千公里。中間層頂部的高度為85公里,這裡的氣壓為海平面氣壓的萬分之一,再往上的大氣稱為高層大氣。85公里的0.618為52.5公里,在這個高度,大氣巧妙地形成臭氧層。臭氧層向下延伸可達40公里。臭氧吸收大量太陽能,在大約50公里高度上形成溫度最大值——平流層最高溫度點。這個事實對人類和其它生物的生存至為重要,因為臭氧的吸收作用有效地阻止了幾乎全部短於290奈米(1奈米=10-9公尺)的太陽輻射到達地球表面。否則這種紫外輻射會損害並殺傷大多數生物,人類將不能生存。......【更多內容請閱讀科學月刊第582期】






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