2017年7月25日

質量永遠是正的?什麼是負質量?

作者/欒丕綱,中央大學光電系副教授。

牛頓第二運動定律F=ma是中學生就知道的物理定律,它告訴我們:一個受力的物體會在受力方向加速,而力F與加速度a的比值m=F/a就是這個物體的質量。根據這個定律,受力物體向著施力方向加速似乎是天經地義的,因為物體的質量永遠是正的。然而,真的是如此嗎?

今年4月份,美國華盛頓州立大學(Washington State University, WSU)的物理學家製造出一種「負質量」的低溫物質狀態,引起世界各重要媒體例如CNN、BBC,甚至是「準」學術期刊《今日物理》(Physics Today)的大幅報導。許多物理學家也積極探討這個所謂的負質量究竟是什麼意思,甚至有一些意見不同的論戰。本文不擬對這篇關於波色–愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein Condensation, BEC)狀態之下的負質量現象做「解謎」式的解釋,而只打算談談負質量研究為何有趣,以及在日常生活接觸得到的巨觀系統中如何實現類似的負質量現象。

負質量一詞從哪來?
究竟負質量有什麼特別呢?事實上,這得從兩部科幻電影談起。第一部是由茱蒂·佛斯特(Jodie Foster)主演,薩根(Carl Sagan)小說改編的1997年電影《接觸未來》(Contact);第二部是 2014 年的賣座電影《星際效應》(Interstellar)。這兩部電影的共同特點是都利用了蟲洞(wormhole)進行星際時空的旅行。薩根是知名的天文學家與科普大師,對天體物理與宇宙學當然具備非常豐富且正統的知識。不過,當年薩根寫那本小說時,物理學界對於蟲洞(舊的名稱是「愛因斯坦–羅森之橋」,Einstein-Rosen’s bridge)的認識還很膚淺,因此薩根對於自己的構想在學理上是否可行,並沒有什麼把握,於是他求教於加州理工大學的廣義相對論專家索恩(Kip Throne)教授。索恩教授與他的合作者莫里斯(Morris)研究後發現,一般的蟲洞是不穩定的,時空旅行者在還沒完成旅行前蟲洞就塌了。要讓蟲洞穩定存在,必須要有夠多的「特異物質(exotic matter)」,而它們必須具有負能量。由於在廣義相對論裡,慣性質量與重力質量是同一個東西,且質量m對應著能量E=mc2,因此,如果能找到夠多的負質量物質,或許就可以製造蟲洞了。

不過,前述美國華盛頓州立大學物理學家所製造出的所謂負質量現象,在兩個方面上跟蟲洞物裡是脫鉤的。第一是它們的負質量只是力學上的等效,第二是這個等效得出的只是慣性質量,並不是作為重力源的重力質量。事實上,負的等效慣性質量並不是新概念。在彈性波超穎材料(metamaterials for elastic waves)的研究裡,早在西元2000年左右,就已經有研究者做出這樣的等效質量來。簡單來說,這個負等效質量的現象是來自於力學上的共振效應。我將用以下的力學系統模型,解釋這個現象的來龍去脈。

負等效質量來自共振效應
考慮一個質量為M的盒子,裡面有兩條一模一樣,彈力常數皆為k的彈簧,一左一右連接著一個質量為m的小球,且彈簧的另一端都連接在盒子壁上,並有外力F從盒子外作用於這整個盒子系統,如下圖。

將盒子與內部小球的位移分別記為x與y,並且將盒子與小球的加速度分別記為 a與ã,則根據牛頓定律與虎克定律可寫下運動方程式: Ma=F+2k(y-x), mã=2k(x-y)  (1)

一般而言,對於這樣的運動問題,必須借助於微積分(calculus)才能解出所有運動的細節。不過,對於彈簧與球這類的諧振子(harmonic oscillator)系統,如果外力是以正弦或餘弦函數的形式週期重覆,就可以知道盒子的加速度與小球的加速度也會是同樣的週期重覆形式,如此就可以用中學生比較熟悉的「參考圓(reference circle)」的觀念來解問題。這個觀念的重點,就是「振動可視為旋轉的投影」,特別是「簡諧運動可視為等速圓周運動的投影」。

我們首先將外力寫成F=F0 cos(ωt-δ),其中ω=2π/T是「角頻率(angular frequency)」,也就是作用力「半徑」F0  繞參考圓旋轉的角速度(angular velocity),即頻率的2π倍,T是振盪周期。相角δ=ωt0是一個參考的起始相角,對應於計時開始的時間t0 ,它可以是任意值,不影響我們所討論的物理現象。如果選擇,作用力與加速度的形式就化為標準的正弦函數(sine function),如圖一所描述的那樣。另外,根據前面的討論,可知盒子加速度與小球加速度也具有a=a0 cos(ωt-δ)與ã=ã0 cos(ωt-δ)的形式。根據上述參考圓的概念,讀者或許已經知道或是猜到盒子的位移與小球的位移也具有x=x0 cos(ωt-δ)與y=y0 cos(ωt-δ)的形式,這是正確的。不過,必須注意的是盒子與小球的速度都跟他們的位移有π/2的相位差,因此會寫成v=-ωx0 sin(ωt-δ)與v=-ωy0 sin(ωt-δ)。更進一步,根據圓周運動的向心加速度ac與半徑R的關係a=v2/R=(2πR/T)2/R=(2π/T)2R=ω2R,以及投影加速度與投影位移的反向性,可知盒子與小球的加速度與他們的位移有以下關係:a=-ω2x , ã=-ω2y(2)......【更多內容請閱讀科學月刊第572期】

沒有留言: