2010年11月12日

魔術方塊的上帝之數

作者/游森棚

科學月刊的讀者想必都玩過魔術方塊(Rubik's cube),就在前幾個月,魔術方塊的理論有大進展,就讓這篇短文娓娓道來。

魔術方塊是在1974 年由匈牙利數學家魯比克(E. Rubik)發明的,原本就是稱為Magic Cube ,現在已經正名為Rubik's Cube 。從發明到現在,據稱在全世界已經賣掉數億個。國際上還有魔術方塊組織(World Cube Association,網站上面有很多有趣的資料)、魔術方塊公開賽、魔術方塊認證等一堆名堂。不少人非常嚴肅對待「快速解魔術方塊」這件事,互相拼比如何解得快又好。

玩過魔術方塊的人都知道,只要隨便轉個幾下,6個面很快就亂掉了,要把它轉回初始狀態是非常不容易的。這個小小的3 × 3 × 3方塊, 30 年前台灣瘋過一次,大街小巷人手一個,我的最佳紀錄是運氣非常好的三面,再也無法進步。一陣子後,報紙上有篇占四分之一版面的解魔術方塊公式,一時洛陽紙貴。

到現在,解魔術方塊公式已經可以只用幾個簡單規則來描述了。熟練之後,一個方塊5分鐘之內一定可以轉回初始狀態。雖說如此,看著照解是一回事,熟能生巧是另一回事,熟能生巧到一個極致又是另一回事。魔術方塊愛好者可以練到出神入化,如果沒親眼看過飛舞的手指與魔術方塊,真的很難相信有人可以熟練到這個地步。

快速解還不打緊,甚至還發展出各式各樣絢爛的解法——盲解(矇住眼睛解)、多解(一次解好幾個),甚至用腳解!今年4 月,台灣辦了一個有國際認證的「用腳解魔術方塊大賽」,竹東高中學生何明峰以2 分19 秒11的成績,創下台灣腳解魔術方塊最快紀錄。

但是數學人關心的是其中的數學。魯比克當初發明它時並不看好,完全沒有料到魔術方塊會這麼流行,因為覺得太難了。是真的很難,因為魔術方塊變化太多了,有多少?先固定8 個角,有8!× 37 種方法,而固定邊有12!× 211種方法。乘開一共是8!× 37 ×12!×211=43252003274489856000種。在這麼多種中,我們要轉到唯一的一種。

魔術方塊牽扯到數學裡的群論(Group theory),以群論的角度來看,魔術方塊所有可能的狀態構成一個群,每一面的基本轉動都可以看成一個生成元(generator)。因此一堆生成元的合成就是亂轉,所謂的把魔術方塊轉回原狀,就是任意給定一個群的元素(混亂的狀態),要找到一些生成元(基本轉動),這些生成元合成後會將這個元素變成單位元素,即把這個混亂的方塊變回原來的狀態。【更詳細的內容,請參閱第491期科學月刊】

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