2010年10月23日

旋轉與鏡射

作者/游森棚

從今年度的高一學生開始,高中數學用的是新的課程大綱。這個大綱和以前相比有相當多的變動,也相當有企圖心,比如第四冊談矩陣,特別指定要講二階方陣當作線性變換時的幾何意義——伸縮、旋轉、鏡射以及推移。嗯,這中間大有名堂呢!

矩陣的引進是由抽取聯立方程組的係數而來,

就變成動態的定義,這是一個觀念的大突破。從此以後,每一個矩陣都有幾何上的意義——把某個點(向量)變到某個點(向量)。研究矩陣所代表的變換的意義,就變成根本的工作——隨便寫一個二階方陣,是什麼意思?

伸縮、旋轉、鏡射以及推移當然是容易觀察的,但是課綱真的想跟師生說的是底下這個重要定理:

任何一個可逆的二階方陣,可以寫成伸縮、旋轉、鏡射以及推移的合成。如上例,
所以,A 對某個點(向量)作用的效果,相當於一、先逆時針旋轉arcsin 3/5 ,二、然後往xy方向分別伸縮10跟5倍,三、再往x方向推移2單位,四、最後對y軸鏡射。只有知道這個定理,才可能知道為什麼高中數學要特別撥一節講這四種變換,因為這四種變換是「元素」。

這四種變換之中,旋轉和鏡射是最精彩的。高中數學的旋轉和鏡射可以歸結為底下這段話:「逆時針旋轉θ角」的矩陣和「對直線y = tanθ/2鏡射」的矩陣一般形式分別是
注意到旋轉矩陣的行列式值等於1,鏡射的行列式值等於-1。這看起來也沒什麼,但是其實背後牽涉到的理論非常深刻,由此出發,是許多數學家和物理學家一生的堅持所在。這個月的專欄我們隨意談談,當作給高中師生的參考。

一個2 × 2 矩陣就是一個平面到平面(R^2→R^2)的變換。如果向量的長度經過矩陣的變換之後保持不變(Axx ),這樣的變換稱為一個正交變換(orthogonal transformation)。之所以叫正交變換的原因是,原來垂直的東西經過變換後也依然是垂直(u v <=> AuAv),換句話說,角度經過變換後不會改變。

可以證明:如果A 是正交變換,則A 和自己的轉置(即「行列對調」)的乘積會等於單位矩陣(AA^T= I2),再由矩陣行列式的性質det(MN)=det(M)det(N)以及det(M^T)= det(M),馬上得到detA=±1,也就是說,正交變換的行列式只能是1 或- 1 。【更詳細的內容,請參閱第490期科學月刊】

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