2010年8月1日

三等分一個角

作者/游森棚

幾年前我跟一位數學界的前輩聊天,他提及某次評審中小學科展的經驗,有一組學生的作品是「證明可以用尺規作圖三等分一個任意角度」,讓這位教授非常生氣。學生在當場可是信心滿滿,講得頭頭是道,但該教授是目瞪口呆,哭笑不得。因為在大學的代數學中,早就已經證明了「不可能用尺規作圖三等分一個角」。

這是任何一個大學數學系學生所應該有的基本素養--再怎麼樣,四年數學系的耳濡目染,也該知道尺規作圖三等分一個角是不可能的。這裡要強調的是,一個角的三等分角線當然是存在的,代數學證明的是:你不能用尺規作圖做出這條線。

這位前輩生氣的重點不是針對學生,而是該作品的指導老師。指導老師竟可以放任學生做這樣的題目,得到這樣荒謬的結果,並代表學校出來參加比賽。這不僅失職,而且表示這位老師一點點數學基本的能力都沒有--都已經是正式的老師,理當受過大學甚或研究所的數學專業訓練,怎麼可能連「不可能用尺規作圖三等分一個角」這件事都不知道?

我猜事實可能是這位老師根本不知道,也不想管學生在做什麼,不過掛個指導老師的名交差了事。這幾年我擔任國際科展的指導教授以及各級科展的評審,一路看下來,只覺得各學校的老師對待科展的態度真是大相逕庭,有非常努力認真的,但也有隨便到令人搖頭的。我自己就評過連續兩年一模一樣的作品,連帶
到現場的實驗資料、書面報告都一模一樣(但是封面顏色不同),只有學生的臉孔不同。我不忍當場苛責學生,只交代他回去告訴老師,明年不要再這樣。

但話說回來,也許「不可能用尺規作圖三等分一個角」這個鐵的定律印記太深,所以「三等分角」這個詞,對不少數學系學生而言成為一個禁區,不期待會有新東西,也不會往這方向看。因此在大學幾何學中,我第一次接觸到莫利定理(Morley's Theorem)時簡直傻了。定理是這樣說的(圖一):
莫利定理:任給一個三角形△ ABC ,作各角的三等分角線,兩鄰角的三等分角線會得到一個交點,共有三個交點,則三個交點圍成一個正三角形。
莫利定理漂亮得出乎意外,因為條件正是「三等分角」這個禁區,是不能用尺規畫出來的。1899 年莫利提出這個定理後,便吸引了許多數學愛好者的注意,網路上可以找到很多相關資料。【更詳細的內容,請參閱第488期科學月刊】

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3 則留言:

johnson 提到...

個人新想出一個解法, 不知如何, 請指教.

如圖:
http://www.javaworld.com.tw/jute/upload/2010/11/22/15019195.snap.jpg

角AOB為一任意角, 以O為圓心畫一圓, OM為平分角AOB的平分線.

畫一垂直於MO線的MX, 交圓周於X點(第一象限).

畫OX線, 此時角MXO若等於角OXB, 則角XOB為角AOB的三分之一.

實際操作上, 可以把OX看成一個鏡面, MX線由圓周往圓心移動, 將角MXO複製到角OXb, b為圓周上的一點, 當bB重合, 就是找到1/3角AOB.

johnson 提到...

較詳細的說明

http://www.javaworld.com.tw/jute/upload/2010/11/23/68954690.jpg

如圖: 角AOB為一任意角, OM為平分角AOB的平分線.

1. 在OM間選擇一點, 畫水平線H1, 交圓於點C.

2. 由點C往點B方向畫割線, 交圓於點E. 使角MCO=角ECO

3. 將水平線往下移動, 當點E重合點B時, 點C成為點D, 此時角DOB=1/3角AOB.

此圖有一個很好玩的性質, 當點E尚未重合點時, 角COD=1/3角EOB.

johnson 提到...

更新

如圖:
http://www.javaworld.com.tw/jute/upload/2010/11/23/48277985.snap.jpg

角AOB為一任意角, OM為平分角AOB的平分線.

1. 在OM間選擇一點, 畫水平線H1, 交圓於點C.

2. 由點C往點B方向畫割線, 交圓於點E. 使角MCO=角ECO

3. 將水平線H1往下移動, 當水平線到H2位置, 點E重合點B, 點C重合點D, 此時角DOB=1/3角AOB.

此圖有一個很好玩的性質, 當點E尚未重合點時, 角COD=1/3角EOB.

另外相對的來說, 假設角AOB為已知可3等份的特殊角如90度角, 藉由調整H1與H2的距離, 可以獲得許多不同非特殊角FOE的1/3之一角COE.