2010年9月25日

從四元數到空間向量(下)—空間向量的誕生

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

上一期說到漢彌爾頓創造了相容於實數和複數的四元數quai + bj + ck ,並看到四元數的運算包含了空間向量的內積和外積。儘管漢彌爾頓的聲譽卓著,當時的數學和物理學者並不認同四元數的實用性。真正可以仰仗四元數而發展的物理觀念,在漢彌爾頓身故(1865年)之後才發生,那就是馬克士威(James Maxwell)的電磁理論。

馬克士威是蘇格蘭人,他與追隨漢彌爾頓並成為四元數之最大推手的泰德(Peter Tait)是同鄉兼同窗。當馬克士威在1870年向泰德討教四元數的時候,他的電磁理論已經成形,只是還沒找到適合描述那些物理想法的數學語言。從他們的通信中看得出來,馬克士威覺得四元數太麻煩而態度有所保留,至於泰德則努力地遊說。

1873年馬克士威出版劃時代的著作——《電學與磁學》(A Treatise on Electricity and Magnetism),注意此書的標題並沒有使用「電磁」合成字(electromagnet)。馬克士威在《電學與磁學》裡面所表現的數學,的確是四元數,但是他也不厭其煩地併陳「笛卡兒方法」,也就是分別描述x坐標、y坐標和z坐標的方程式,而且馬克士威不只一次提到:如果能將純量和向量的計算分開來做,應該會更簡潔,而且更直接對應物理意義。英國劍橋大學出版社在今年(2010年)又重新發行了這本經典的著作。

馬克士威出版《電學與磁學》六年後就過世了,來不及實現他心目中更「簡潔」的向量數學。但這份著作引領了許多跟隨者,包括美國耶魯大學的吉布斯教授(Willard Gibbs)和英國的自學天才黑維塞(Oliver Heaviside)。

吉布斯讀《電學與磁學》的時候已經是教授,並且發表了重要的物理論文,但是他讀了這本書之後才開始學習四元數,當作研究電磁學的工具。過程中吉布斯洞察四元數有「多餘的」性質可以略去,只要擷取向量的係數積、內積、外積和一些我們在大一微積分課程中學習的微分與積分的運算,就能描述電磁現象並據以計算和推論。吉布斯從1877年起開授電磁學課程,在課堂上採用他發展的向量方法;後來,他在1881年自費印刷了向量講義,除了課堂使用以外,陸續郵寄了大約130份給其他同好。二十年後的1901年,總算由他的學生威爾森(Wilson)代筆撰寫並正式出版為《向量分析》(Vector Analysis)教科書。

黑維塞讀《電學與磁學》的時候是一位失學且無業的24歲「啃老族」,他決定要自修成為一名物理學家。他同樣為了研究電磁學而學習四元數,也同樣將四元數「去蕪存菁」成空間向量及其運算,並應用在他1883年發表的電磁學論文裡。當黑維塞在1888 年拿到吉布斯的講義時,赫然發現他們發展了完全一樣的向量方法。但是黑維塞與吉布斯兩人從來不曾爭論誰先誰後,可能因為他們是當時世界上唯二的向量推手,所以必須惺惺相惜吧。黑維塞於1893年出版的《電磁理論》(Electromagnetic Theory)被認為是馬克士威理論的正宗後裔,其中有長長的一章向量分析。【更詳細的內容,請參閱第489期科學月刊】

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