2010年8月1日

從四元數到空間向量(上)-漢彌爾頓的四元數

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

在1830 年之前,西歐的數學圈已經普遍知道平面上的點坐標(a, b)轉化成複數a+bi 的觀念,複數被認知為「平面數」,而實數就相對地成為「直線數」;複數和實數具備同樣運算性質的加減乘除。讀者不難想像,那個時代的數學家不可避免地想要創造「空間數」--將空間中的點坐標(a, b, c)轉化成一個可以像實數和複數一樣做加減乘除計算的數。

後人在高斯遺留的手稿中發現他在1819年嘗試過a+bi+cj 形式的「空間數」,其中的a+bi就是複數,但是這個理論並不成功也就沒有發表。據漢彌爾頓(William Hamilton)的自述,這個問題大約從1828 年起成為他「智識上的渴望」(an intellectual want)。直到15年後的1843 年10月16日,漢彌爾頓在一次「觸電似」的神奇經驗中頓悟了三項不夠而需要四項的「空間數」:u+ai+bj +ck,稱為「四元數」(quaternion),其中u稱為純量部分, ai+bj+ck稱為向量部分;ijk扮演像複數中的虛數單位i 那樣的角色,稱為「生成元素」,而u、a、b、c都是實數。順便一提, 1843 年也是中英〈南京條約〉生效的第一年,英國佔領香港。

就像複數一樣,兩個四元數p=u+ai+bj+ck和q=v+xi+yj+zk 相等的意義是u=v、a=x、b=y、c=z。四元數的加或減就是對應係數的加或減,也就是p±q=(u±v)+(a±x)i+(b±y)j +(c±z)k,可見四元數的加法具備實數及複數加法的性質:結合律與交換律。

至於乘法,漢彌爾頓直接規定四元數的乘法對加法滿足分配律,所以只要規定生成元素之間的乘法規則,就能做四元數的乘法。這些規則是:i 2=-1、j 2=-1、k 2=-1、ij=k、jk=i、kijji=-kkj=-iik=-j 。【更詳細的內容,請參閱第488期科學月刊】

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