2010年5月11日

「向量」從何而來?

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

關於高中數學課程「向量」課題的教與學,我見過兩種學生:一種學生始終以「物理的真實性」來理解向量,設法將所有向量問題都轉譯成相對的物理意義;另一種學生直到學期即將結束,還沒有察覺數學課的向量和物理課的向量原來是同一種東西!兩種現象都不太好,也許後者比前者更不幸一點。

雖然,用平行四邊形的兩邊表現力或速度,用其對角線表現合成力或合成速度的作法,在古希臘就有,而且在牛頓的時代已經廣為接受,但是那並不是今天我們對於向量的系統化認識。當時的合成是純幾何的操作,並無兩向量「相加」的觀念,也沒有發展出我們在教科書裡傳授的一套計算規律;換句話說,並沒有成為一個代數系統。一般認為,大約1800~1830 年間,將複數賦予幾何意義的觀念,也就是高中課程中稱為複數平面或高斯平面的觀念,是現代向量觀念的前身。

另外,雖然「向量」(vector)這個字本來就有,卻是到1840 年代,這個字才初步出現今天所指的數學意義。就好比「力」(force)和「能量」(energy)這些字也是早就存在,但是它們的日常意義卻迥異於它們的物理意義。

高中的數學課本或教師手冊裡,經常會舉出一些有趣的數學小故事或簡史。可是,似乎比較少提供向量的歷史或軼事,或許是因為向量太新了。除了發展於二次大戰時期的線性規畫以外,向量(以及銜接其後的線性代數)大概是高中數學課程中「最新」的課題了。這篇短文希望能夠引起關於向量發展史的話題。

向量的前身是複數的幾何意義,也就是把複數a + bi 視為平面上一點P(a, b)的位置向量,亦即OP 向量,其中O 為平面坐標的原點。於是,現在我們所知的向量加法、減法與係數積,就對應了複數的加法、減法和與實數的乘法。

在1800 年代的前30 年,有五、六位數學家獨立發展了複數的幾何意義,並闡述了複數平面的性質。雖然不只一人發表了將複數與坐標平面連結的看法,並且分別發展出相當完備的理論和技術,卻都沒有受到廣泛的注意。直到大師級的高斯在1831 年也發表了這個觀念,才迅速被歐洲的數學家注意並學習。雖然高斯發表的年份是1831 ,但是根據後人考據他遺留的筆記,高斯可能在1799 年就已經發展了所謂的「高斯平面」。【更詳細的內容,請參閱第485期科學月刊】

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