2010年5月11日

窗簾與壁紙

作者/游森棚

幾年前搬新家,一家人跑了好多店選窗簾。我對配色沒什麼概念,只能跟著參觀,到了窗簾店裡卻異常專心,看著一個窗簾微笑,然後看著另一個窗簾再微笑,偶而喃喃自語說「這個太簡單了」「這個好,夠複雜」。我的奇怪舉止家人早就習慣了,我盯著其中一塊窗簾布看了很久,說「這個真的很難看」,美術系的妹妹湊過來,「不會吧,還蠻漂亮的啊。」

我笑著說,我不是在審美,而是在辨認這些窗簾圖案的數學模式(此時他們就不理我了)。辨認什麼圖案?窗簾總是會印花的,印花絕大多數是會重複的。每一種重複的模式在數學上叫做一個壁紙群。

什麼是「重複的模式」?簡單說,一塊圖案可以在平面上翻、轉、平行移動。經過一系列的翻或轉或平行移動後又重複原來的圖案,則這樣一系列的翻轉移動就會構成一個壁紙群。圖一這兩個圖案雖然看起來不同,但是本質上是同一種設計。

這兩種壁紙設計都屬於壁紙群p4(這是數學上的符號),意思是說這個壁紙花樣的重複按照規則重複。深色的區塊是「一塊圖案」,稱為基本區域,淺色的部分則說明怎麼重複這個花色。

這樣看起來壁紙群有非常多種,因為有無限多種可能的印花,但是並不然。直觀上來說是可以這樣感覺:用正多邊形填滿平面只有正三角形、正方形、正六邊形這三類,所以一開始就少掉很多了,所有的翻來翻去轉來轉去就只能在這個架構上進行,並不會有太多種。更深刻的解釋就連結到數學上的考克斯特群(Coxeter group)理論,這已經是研究所的數學了。

不同的重複模式才是本質上不同的設計。那一共有多少種呢?(有幾種壁紙群呢?)答案出奇地少--只有17 種壁紙群。意思是,窗簾(或壁紙)的印花重複只有17種模式!這17種壁紙群的數學記號是p1、p2、pm、pg、cm、pmm、pmg、pgg、cmm、p4、p4m、p4g 、p3 、p3m1 、p31m 、p6 、p6m 。【更詳細的內容,請參閱第485期科學月刊】

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