2009年9月9日

披薩與西瓜

作者/游森棚(任教高雄大學應用數學系)

有一個智力測驗題一直讓我印象深刻:「一個披薩切6刀,最多可以切成多少片?」前提是不考慮披薩的厚度,切的過程中披薩不可移動,不可疊起來或對折,且切完的每片不一定要同樣大小。換句話說,就是「6條直線最多可以把平面分成幾部分」。這對小學生來說可不容易,小時候我試了很久都試不出來。讀者如果沒玩過可以試試看,答案是22片。

到了高中,這已經變成數學歸納法這個章節的典型問題,我們可以證明:平面上的n條直線最多可把平面分成部分

若把問題從平面換成立體,將披薩換成西瓜:一個西瓜切6刀,最多可以切成多少塊?(6個平面至多可把空間分成幾部分?)這可難多了,切披薩可以畫在紙上觀察,切西瓜根本難以想像。

另一方面,讀者一定認識那種吃披薩只吃中間的餡,圓周的麵皮都留下不吃的人。因此還有加強版的問題:一個披薩切6刀,最多可以切成多少片?其中有幾片不含披薩邊?一個西瓜切6刀,最多可以切成多少塊?其中有幾塊不含西瓜皮?

這些問題到了更高維度空間後的解答,就是「超平面配置」(hyperplane arrangement)這門學問的第一個大定理。今年暑假,我經由數學學會的推薦,到日本參與一個由日本數學學會主辦,長達半個月的學術研討會,主題就是超平面配置。這個專業領域的最初起點,就在討論「直線把平面分成幾個部分」、「平面把空間分成幾個區域」等問題,也就是說,披薩分成幾片,或是西瓜分成幾塊!

什麼?切西瓜可以變成一門學問?讀者應該很驚訝。但實際上這個領域已經成為連結非常廣的深刻領域,這次研討會討論了超平面配置與拓樸學、組合學、統計學、代數學、幾何學之間的連繫,真是目不暇給,我個人的收穫非常多。

我們暫且不要管深刻的發展,回到切披薩和切西瓜。我試著用淺顯的語言將如何計算區域數的理論介紹給讀者,因為這結果實在太神奇了。以下用切披薩來當例子。


第一步,畫出「赫塞圖」(Hasse diagram)。假設用圖一的切法,以5條直線p,q,r,s,t來分割一平面,這5條直線彼此相交的方式,可以用圖二的赫塞圖來表示。

最底層的那一點代表整個平面。往上一層的5個點p,q,r,s,t表示5條直線,都和代表平面那一點相連,表示這5條直線都落在平面上。再往上一層有6個點A,B,C,D,E,F,其中A連到p,r,表示A點是直線p與直線r的交點;同理,B連到p,s,以此類推。這樣畫出來的赫塞圖顯示這些線相交的所有結構。

第二步,我們要在赫塞圖上的每一點標上一個數字。標法是這樣的,首先,最底層的那一點標上1。然後,一層一層往上標。怎麼標呢?假設現在要標X 點,則此數字f(X)要使得f(X)+(由X往下連得到的所有數字的標號和)= 0 。
【更詳細的內容,請參閱第477期科學月刊】

回本期目錄

沒有留言: