2009年9月9日

「幾何」原本

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

每當我們對一個好奇心旺盛且腦筋清楚的人,說「輾轉相除法」在西方稱為「歐幾里得演算法」,再加一句解釋,說此演算法出現在歐幾里得的名著《幾何原本》裡面,經常立刻被反問的問題有二:那麼「輾轉相除法」是中國固有的嗎?既然是「幾何」原本,為什麼還包括計算最大公因數的算法?第一個問題簡單,高中數學課本可能就有交代。第二個問題就可拉長一點,這是我最感興趣的一段故事。

「輾轉相除法」確實是我們「固有」的文化遺產,出於《九章算術》。這本書集結了周朝與漢朝的數學發現,成書於東漢年間,作者已不可考。書中列舉246個數學命題,依其性質分成九類,所以稱為「九章」。三國時期的魏國人劉徽為它作注(西元263年),使得這部古籍得以流傳下來。至於「輾轉相除法」是什麼?只須搜尋一下便知,此處不再贅述。

歐幾里得(Euclid)是希臘托勒密一世時代(公元前323~285年)的人;稍微粗糙地比對,希臘哲人蘇格拉底在世的時間大約與孔子同期,而歐幾里得大約與孟子同期。他所著的《幾何原本》英譯為Elements,在他所寫的六部數學書籍之中,這是「入門」的一部,正如其標題所暗示的:基礎、原理。它可以被理解成當年學習高等數學的基礎教材。

Elements所涵蓋的數學基礎,並不止於幾何。事實上,這一部著作共分13卷,前6卷大約全是平面幾何,但是第2卷其實以幾何表徵處理了各種平方乘法公式,例如命題4即以面積闡述(a+b)^2=a^2+b^2 +2ab,在我們的國中數學課本裡也看到這種解釋的手法。國中課程中的平面幾何,大約都在第1 卷(關於垂直、平行、三角形)和第3 卷(關於圓與弦)。例如給定一任意角,求做角平分線,是第1 卷的命題9 。又例如畢氏定理是第1 卷的倒數第二個命題,其逆敘述則是第1卷的最後一個命題。

第7卷開始講整數,「輾轉相除法」就是第7卷的命題2。第10卷探討無理數與平方根的運算,第11卷探討空間中的直線與平面,第12 卷證明了「圓面積正比於直徑平方」、「球體積正比於直徑立方」和「錐體體積是底面積乘以高的三分之一」這些體積公式,第13卷則專論僅有的五種正多面體。

從以上的簡述應該明白:這部書不僅是幾何。雖然有人主張應該稱之為《原本》,但大多數人還是習慣稱之為《幾何原本》。這個「膾炙人口」的譯名,似乎已經根生蒂固於我們的文化之中。而原因,實在是因為它有四百多年的歷史。就在兩年前,西元2007年,華文世界正在慶祝《幾何原本》出版400周年——萬曆三十五年(西元1607年),徐光啟與利瑪竇合譯的《幾何原本》刻印刊行了。

利瑪竇(Mateo Ricci)在西元1552年生在屬於天主教皇的一個城邦,26歲時乘了半年的船到印度傳教,四年後經澳門進入明朝時期的中國,此後再也沒有回歸故鄉。西元1610年利瑪竇逝於北京,享年57歲。他19歲加入耶穌會(Jesuit),這是在馬丁路德發起宗教改革之聲以後,天主教內產生的一個修會,其特色之一是非常重視教育,而且不排斥「科學」教育。他們之中,許多人懷抱著「埋骨何需鄉梓地」的豪情,遠赴世界各地傳教。來到中國的耶穌會傳教士,可以列出一份響噹噹的名單:利瑪竇、湯若望、南懷仁、郎世寧……。

關於利瑪竇在耶穌會所受的科學教育,僅需指出一點:利瑪竇的數學老師是克拉維(Clavius),就是他修訂了陽曆,而沿用至今。克拉維也發明了今天採用的閏年規則:四年一閏,逢百取消,四百補回。【更詳細的內容,請參閱第477期科學月刊】

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