2009年6月7日

證據與證明

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

上個月,我們建議以人相對於研究對象的主體性,區分形成定理或理論的可能性。不論是理論還是定理,當然都不應該訴諸於權威或直覺,而需要驗證其正確性。對於人是為客體的諸家理論,我們對它沒有宰制之力,於是基本上只能提出「證據」(evidence);針對每個證據,以或多或少的個人經驗與專業慣例,判斷降低此理論為誤的可能性。只要錯誤的可能性降到某種程度,我們就「暫且」相信了這個理論。所有的理論,不管我們信以為真了多久,都不能是「在前提條件下絕對正確的」。例如托勒密的行星運轉理論,儘管被相信了1500年,一旦有足夠的反面新證據,畢竟還是被拋棄了。

而定理是人的創作,當人是研究對象的主體,它的所有行為和意義是由我們發明的,所以整個對象可以納入我們的語言體系。在這個情況下,我們可以全面性地探討一個定理,而不必舉隅為證。用符合邏輯的語言論證定理之正確性的方式,稱為「證明」(proof),我們稍後就會舉例說明。

只有針對人創造的定理,才能證明。其他的情況,都只能提出證據。我們的日常生活語言,總是不準確的,所以容易造成混淆。例如經常聽說的「不在場證明」,其實不是證明,而是提出某一時間在某一地點的證據。這個證據,當然還得經過專家檢視,以其經驗賦予它排除嫌疑的可能性。例如,拿出5月2日的晚場電影票,並不能讓刑警相信我當時真的身處電影院。如果我的女兒說,她和我一起看電影,我的證據成立之可能性當然提高了一點,但是也還不夠。如果再有一個天真無邪的小女孩,說在戲院買爆米花的時候看到我,一般的警察可能就認為夠了,於是接受我的不在場「證明」。至於那些非常堅信直覺的警察,可能還是不願意接受,而繼續尋找其他證據來駁斥我的說法。

以下,我們用一個數學定理來展示證明的形式,並藉此認識到,何以只有人的創造才有以語言驗證的可能。我們必須簡短地從「命題」說起。

表達一個事實、現象或關係,而可以容許驗證其正確性的陳述,稱為一個命題。例如「玉山是台灣的最高峰」和「所有的台灣黑熊都生活在海拔2000公尺以上的山區」都是命題。前者指涉單一對象,是特殊性的命題;後者指涉許多對象,是一般性的命題。

用數學詞語或符號表達,並且可以用數學知識判斷真偽的命題,稱為數學命題。例如「√2 不是有理數」和「令a, b, c 為整數,如果a < b 則a + c < b + c」都是數學命題。前者指涉單一的對象,是特殊性的,後者涵蓋無窮多種情況,是一般性的。

雖然,像「√2 不是有理數」這樣的特殊命題並不無聊,也不簡單,許多高中生在一年級的時候見識了它的證明(儘管可能並不明白),但數學很少將特殊命題視為定理。數學定理通常是涵蓋無窮多種情況的一般性數學命題,例如「令a, b, c 為整數,如果a < b 則a + c < b + c」。

而數學證明的特性,也就在這種命題上展現出來:何以有限的字句與推論,能夠涵蓋無窮多種狀況的正確性呢?關鍵就在於,「小於」概念是我們創造的,「整數」是我們創造的,「整數相加」的意義也是我們創造的,便可以明確規定它們全部的意義,並不僅限於觀察之所得。萬一意外發現起初沒有設想的情況,也可以由人來決定如何權宜處置。【更詳細的內容,請參閱第474期科學月刊】

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