2009年5月11日

理論與定理

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

有一天和語言中心的英語老師聚會,有人問到theory 和theorem 有何差異?就中英翻譯而言,只要回答theory 是「理論」,而theorem 是「定理」即可;感謝有人繼續問這兩個名詞有何不同,為何theory 有個副詞theoretically ,但是theorem 卻沒有所謂的theorematically?使得這個話題並沒有很快結束。最後,又有人問,那麼數學定理就是「真理」囉?我在後面回應這個問題。

理論是大家比較熟悉的,凡是經過觀察有限幾個相關的現象,做成一般性的解釋或推論,就是一個理論。例如「氣壓下降就表示會下雨」和「他只有心情不好的時候才喝酒」都是理論。在這個意義之下,人人都知道理論是不準確的,有時候會不靈的。所以,當人們說「理論上」(theoretically)的時候,多半意味著,以下的敘述可能是錯的,或者事實上不僅只如此。
而定理則完全是人的心智創造,用人自己創造的語言,定義了某些觀念,再以演繹性的論述「證明」其正確性。例如「偶數的平方也是偶數」和「令a, b, c 為整數,如果a < b 則a + c < b + c」都是定理。

若說理論都是歸納而得,顯然昧於事實。我們怎能相信,牛頓在他那個滿地泥濘、最平穩的交通工具還是鐵輪馬車的時代,可以只憑觀察而歸納出「慣性定律」(不受力的物體以等速運動)?可見理論也是或多或少的心智創造物,有些人僅憑極少數而且誤差極大的觀察,就憑空創造出來一套規則或解釋,成為理論。越是被尊為「偉大」的理論,當然需要越不尋常的創造力;例如牛頓「力正比於速度的變化率」理論和愛因斯坦的「光速是絕對的,時間和距離反而是相對的」理論。所以理論和定理的差異,並不在於歸納與演繹的兩種思考方式,而是在於客體與主體之分。

當研究對象不是人類的創造,例如行星的軌跡、人的生老病死、物種的變異和滅絕、星體的紅位移等,我們除了觀察以外還能做什麼?這就是說,我們是客體。有些對象雖然是人類造成的,例如朝代的興替、時尚的流變、金融的蓬勃或崩潰,但牽涉的人實在太多,多到任何個人都只能身不由己地隨波逐流,既不可能控制也無力影響,於是也被認為是事件的客體。身為客體,不論有多大的智慧,多高的創造力,也只能獲得理論,不可能產生定理。

只有針對人類自己創造的概念或事物,也就是說,只有當人自己就是主體的時候,才能形成定理。這樣的例子並不算少,所有的藝術,包括建築、雕刻、音樂、繪畫,以及非常重要的——語言,都是人類的創造。但是,藝術涉及情感,情感受時尚和心靈的影響,而這兩個後者都不是人類本身的創造,所以很難產生定理。至於語言,在其邏輯和哲學的部分,的確有定理可言,但是其隨時代而意義變遷,以及隨著溝通而交互影響的部分,卻又由不得人作主了;這就是語言學最迷人之處。至於文學(包括神話與傳說)、宗教與哲學這三種創造物,請容我有意地遺漏它們吧。

所以,現在只剩下兩種主要可以產生定理的人類創造物了:「數學」和「電腦」。有一段時期,也許現在還是,學者們揶揄「計算機科學」(computer science) 是一個「矛盾修飾法」(oxymoron),因為電腦明明是人的創造,完全聽命於人的規畫,按照電子閘道所形成的電路邏輯,它的行為是完全可掌握的,不需觀察歸納與實驗,何來科學之有?

當一個自然現象不符合理論,我們不可能責備大自然(mother nature)做錯了。既然不能怪她不守規矩,只好回來修改自己的理論;例如那矛盾於乙太理論的光速實驗,作廢的只能是乙太理論而不是光速絕對的現象。相對的,當一個電腦程式出錯的時候,我們(正常來說)不會怪罪製造硬體的公司,卻會咒罵程式設計師或者出產軟體的公司,便反應了我們對於電腦之內有定理的正確認知。【更詳細的內容,請參閱第473期科學月刊】

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