2009年2月3日

美國AP 微積分課程的啟示—高中生為什麼要學微積分?

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

上個月,我們在本專欄檢視了美國高中生的微積分預修課程(也就是AP的微積分AB與BC課程)與檢定考試。現在,我希望提出一些值得我們探討的問題。

首先,美國每屆310萬名高中生當中,只有略低於9%的學生選考微積分AP檢定。台灣的公私立高中畢業生(不含高職部門)每屆大約14萬人,例如今年學科能力測驗的報考人數是14萬2000人。因為產業結構與中等教育定位的差異,台灣高中生對於預修微積分的需求率可能比較高,就算是兩倍的18%吧,那就是2萬5000人。

就比例來看,將大學程度的微積分內容正式放在高中課程綱要當中,應該是不恰當的。就算列為選修之數甲內容,以目前台灣超過30%的高三學生選修數甲來看,在比例上也是需要審慎評估的。所以,讓少數能力足夠的學生,有機會到大學去選修微積分,以抵免高中(和大學)的對應學分,是比較可行的方案,也是有些人的願景。但是,在上課時間和學分認定兩方面,都需要高中和大學兩個行政體系的配合,目前還有困難要克服。若是參照AP的作法,改由高中教師授課,則以每班45人計算,需要開555班。就算每位老師開兩班,也需要培訓至少270名可以負責微積分課程的高中教師,才能實行這個計畫。

其次,有點不倫不類地,若把微積分AB的考生和台灣指考科目數乙的考生,視為升學目標類似的學生,而BC 考生與數甲考生類似;近年數乙和數甲考生的人數比例大約維持在1.8:1附近,對照微積分AB考生大約是BC考生的3倍來看,台灣的升學科系結構與美國還是大有不同的。這或許顯示,台灣的數乙考科人數、以及它對應的大學主修學生人數,還有成長的空間。

最重要的,其實是一個理念層次的問題:「高中生為什麼要學習微積分?」難道微積分的威力能夠解決許多高中時期的數學考題?就台灣較早期的課程來說,這是成立的。包括多項式和三角函數疊合的極值問題,圓、橢圓和其他二次曲線的切線相關問題,方程式求近似根或多項式求近似值的問題,不定型式的極限問題,都能利用微分技術而簡化或加速處理過程。既然如此,我們更該反省的是,運用微分技術能夠比較輕鬆地解決問題,為什麼不等到上了微積分課程後,再來學這些課題,而要求學生用「初等」方法繞一趟遠路?在授課時數受到嚴重拘束的這個時代,課程的設計應該更注重效率,割捨這些可以用更高技術處理的課題。是故,從95暫綱開始,高中課程就保留了微積分的前置經驗,而移除了某些適合以微積分處理的問題。

如果高中數學剔除了適合以微積分處理的課題,為什麼高中生還是要學習微積分?不僅美國透過AP 課程教授微積分,英國體系(包括新加坡和香港)在大學預科提供微積分課程,日本的高中課程標準也是自高二起學習微積分。對於「高中生為什麼要學習微積分?」這個問題,張海潮教授說「至少有兩個答案」:(一)微積分的發明在數學及相關問題上的突破,值得高中生學習;(二)微積分的方法對高中階段能夠解決的問題有所幫助。

我希望提供第三個理由:因為大學專業課程的需要。

當我們五年級生讀大學的時候(那已經是四分之一個世紀以前的事了),大學一年級就是學微積分、普物、普化,其他理工學科的專業科目都從大二開始。過去這四分之一個世紀,科學與工程發生了那麼多的創新與變化,他們的大學基礎教育當然也跟著演變了。在緩慢而不被注意的演變之後,如今每一個學科都比以前更早也更大量地使用數學模型,其中最主要的模型就是微分與積分。除了傳統的物理、電機、機械以外,至少經濟與金融也是如此;許多其他學科則透過統計模型的需求而使用微積分。因為這樣的演變,許多學門的大學教育,已經等不及二年級才開始運用微積分,而在大一的入門課程中就有以微分方程或積分型式所描述的模型。【更進一步的內容,請參閱第470期科學月刊】

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