2018年6月30日

歐拉數與歐拉的數

游森棚/任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。


在數學多個領域留下許多重大發現的數學家歐拉,許多的數學公式、方程式或定理都因他而生,就連最簡單、直接以他之名來命名的數列,都還得細分成Euler number和Eulerian numbers······


歐拉(Leonhard Euler, 1707~1783)是瑞士數學家,也是有史以來最偉大的數學家之一。數學上幾乎「每一個」領域都有以他命名的定理,而且都是開創性的結果。從平面幾何〔註一〕到一筆畫問題〔註二〕;從流體力學的歐拉方程到代數拓樸與多面體理論的歐拉示性數;從數論〔註三〕到分析〔註四〕,其深度與廣度真的讓人嘆為觀止。

在組合數學中歐拉也做了許多原創的工作。我的專長是組合學,歐拉理所當然成為我最景仰崇拜的數學家,就連最基礎的排列——討論把1、2、……、n排成一列的理論,都有2個數列以他命名:一是Euler number,另一是Eulerian numbers。《科學月刊》一直希望專有名詞要有中文翻譯,現在可能要踢到鐵板——前者是「歐拉數」,後者是「歐拉的數」。這兩個數在數學上都非常重要,雖然兩者定義超級不同,但是歐拉居然找到把兩者聯繫起來的關係。

前陣子我與幾個合作者共同發表一篇論文,推廣了歐拉的這個結果,在這裡把問題的始末跟讀者分享。

歐拉數
這個專欄中曾經介紹過「歐拉數En」,這個數是計算1、2、……、n的排列中,有多少個數列長得像是下上下上下上……的形狀。這種排列稱為交錯排列(alternating permutations),比如長度為4的這種排列有5個,分別是
所以E4=5。
而這個數列的前幾項是
歐拉數和三角函數有奇妙的聯繫。如果用大一微積分把tanx用泰勒展開式展開(亦即用多項式去逼近),可以得到
這樣看起來沒什麼,但是若把xn的係數調成n!,這個式子就變成
那些係數就是奇數項的歐拉數!讀者要問,那偶數項的跑哪去呢?答案是secx的泰勒展開式
因此,tanx和secx都有組合意義,當代組合學宗師史丹利(Richard Stanley)幾年前寫了一篇歐拉數的總介紹,有興趣的讀者非常值得一讀。

歐拉的數
「歐拉的數An,k」的定義則完全不同:寫下一個排列,比如526314,我們看看有多少個 「下降(descent)」,在此例中是3個,分別是52、63、31。則歐拉的數便是在數1、2…n的排列中,有多少個剛好有k個下降,比如長度為3的六個排列,123、132、213、231、312、321,下降分別是0、1、1、1、1、2個,因此
所以歐拉的數可以寫成巴斯卡三角形的樣子,前七列是
現在,求每一列的交錯和,亦即依次放加減加減……號後求和,比如第三列是1-4+1= -2,第四列是1-11+11-1=0,讀者先停下來試試看!......【更多內容請閱讀科學月刊第583期】


〔註一〕三角形的外心、重心、垂心共線,稱為歐拉線。
〔註二〕一個圖可以一筆畫的充要條件。
〔註三〕歐拉的φ函數。
〔註四〕歐拉常數、歐拉積分。

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