2018年4月27日

重力的幾何化— 愛因斯坦場方程式

張峻輔/清華大學高能理論物理博士、高雄中學物理科教師,近年於高雄中學開設《夸克、黑洞、相對論》特色課程,講授粒子物理學與相對論。


廣義相對論是愛因斯坦歷經10年磨劍,從等效原理(equivalence principle)出發,在缺乏實驗證據指引之下,僅憑邏輯推理便橫空出世的完美理論,公認為理論物理學的典範,而廣義相對論的核心方程式——「愛因斯坦場方程式(Einstein field equations,或稱重力場方程式)」,甚至被其稱為「這一生中最珍貴的發現」。

量子物理學界堪稱教父級的偉大物理學家波耳(Niels Bohr)曾說過:「進入原子的領地,只能用詩一般的語言描述。」因為詩是創造一種意象而非關注對現實世界的描述,這句話恰如其分地點出量子力學的朦朧美。波與粒子這種既互斥又互補的概念的確像某些詩作一樣,只可意會難以言傳,但對於廣義相對論,愛因斯坦的傳記作家派斯(Abraham Pais)的評論卻更為生動,說它彷彿完美的交響樂章,有著「貝多芬作品的全部力量」。


圖一:若自由下落的電梯其尺寸相比地球無法忽略不計,或是下落時間太長,天花板兩質點將逐漸靠近,電梯內觀察者會察覺到身處非均勻重力場之中,這個效應稱之為「潮汐力(tidal force)」, 月球對地球的潮汐力導致海水的潮汐現象。


純量重力場論
1907 年愛因斯坦坐在伯恩專利局的辦公桌前,領悟到他一生中最快樂的想法:「一個失足墜落的人感受不到自身重量,是因為其所受的重力會與加速過程中感受到的慣性力(高中物理多稱為假想力)互相抵消,導致其處於『失重』狀態。」如果在下墜過程他放開手中緊握的蘋果,由於蘋果與他具有同樣的重力加速度g,故蘋果相對於其而言處於靜止狀態;換句話說,對於這個倒楣鬼而言,他正飄浮在完全感受不到重力的局域慣性系(local inertial frame)之中。但學過高中物理的學生都知道地球重力場並非均勻重力場,g=GM/r2,其中M為地球質量、r 為物與地心距離,而G 為萬有引力常數,故此局域慣性系必須夠小或者掉落時間不能太長,以免這個倒楣鬼察覺到週遭重力場的些微變化(圖一)。愛因斯坦領悟到一個加速座標系中,觀察者感受到的重力完全可用對應的慣性力將其抵銷掉、使得重力在其中消失,即所謂等效原理:「重力場中每個時空點附近都存在一極小的局域慣性系,其中的物理定律與不存在重力時相同,換言之狹義相對論完全能適用於其中。」

等效原理對愛因斯坦構築正確的重力場方程式而言至關重要,因為他發現重力的純量理論並不滿足等效原理,便放棄了純量重力場論。所謂純量理論就是只需用一個不具方向的位勢函數便足以描繪力場在空間中之分布樣貌,靜電學當中的帕松方程式(Poisson’s equation)即典型的純量場論,若已知電荷在三度空間中之分佈,藉由解出電位滿足的偏微分方程式: 便可得到電位在空間中之分佈情形。

讀者不必理會方程式中所有符號的意義,只需知道為電荷密度函數,物理學家習慣用密度來代表物理量在空間中分布的疏密度,而k 為庫侖常數。電位的計算結果一般會用等位線或等位面表示,而電場(也就是電力線)的方向基本上就是電位遞減的方向,大小可由沿垂直等位線方向移動的變化率給出(圖二)。


圖二:(a)兩個等量異性電荷與(b)兩個等量正電荷的等位線(灰色虛線)與電力線(紅色實線)。注意電力線永遠與等位線垂直,且沿著任一灰色封閉路徑移動,每一點的電位都相同,紅色箭頭指出電場方向也就是電位遞減方向。



而牛頓的重力理論很類似上式,寫作給定物質在空間中之密度函數,藉由計算該式便可得知重力位勢在空間中之分佈,也就知道各點的重力場大小與方向,該式與帕松方程相差一個負號是因為重力為吸引力,而靜電力可為吸引力或排斥力之故。又因為牛頓認為萬有引力是一種超距作用,只要空間中置入一質量為M 之物體,遠方另一質量為m 之質點馬上感受到M 對它的引力作用,引力的傳遞是瞬息而至,完全不需任何時間,所以說牛頓的重力理論是一種靜態純量場論,完全沒有時間因子t 在內。

當時有不少物理學家嘗試推廣牛頓的靜態純量場論,比如德國的亞伯拉罕(Max Abraham)與人稱「芬蘭愛因斯坦」的諾德斯通(Gunnar Nordström) 等,當愛因斯坦設想將重力併入狹義相對論時,也是首先嘗試將的三維空間方程式改寫成的四維時空方程式,但一發現該式不滿足等效原理就知道此路不通,因為這麼做既無法得到等效原理能輕易預測到的光在重力場中之偏折現象,也無法正確計算出水星軌道的異常進動(圖三)。從這裡也可看出愛因斯坦較其餘物理學家高明之處,他總是以精準的眼光揀選自然界的基本法則,並由此發展出完整理論,當時許多物理學家死守純量場論,只有愛因斯坦擁抱等效原理,故終成廣義相對論這偉大的樂章。而在缺乏觀測數據佐證之下,水星軌道近日點的異常進動可說是愛因斯坦用來檢驗其方程式是否正確的唯一途徑,筆者認為水星軌道的異常進動現象對於愛因斯坦而言,就好比克卜勒行星運動定律之於牛頓一般,兩者在重力理論的發展史上都具有無法取代的重要地位,大自然透過天文現象向智者發聲,對此愛因斯坦曾對朋友言道:「水星近日點的運動結果給我帶來極大的滿足,天文觀測的精確性對我們來說極為有用!」


圖三:19 世紀天文學家發現水星繞日軌道並非一個完美的封閉橢圓(紅色軌跡),軌道在近日點附近會有繞日旋轉的進動現象(灰色軌跡),而以牛頓重力理論計算鄰近行星對水星軌道的影響,每世紀尚有43 秒弧的差距,牛頓萬有引力定律在此無法給出圓滿的解釋。


圖四:大圓(great circle) a、b、c 是球面上的測地線,是A、B、C 任兩點間之最短路徑,其半徑就等於球體半徑r,而地球的經線就是大圓。



四維時空
愛因斯坦透過上述思想實驗的引導,發現一個美不勝收的關鍵思想,就是可以把重力視為時空的幾何形狀,或說時空曲率,而這曲率是由物質的存在造成的,物體在牛頓力學中受重力作用的運動軌跡,在廣義相對論中便成為彎曲時空中具有最短路徑之測地線(geodesic)。測地線在數學上可視作直線在彎曲空間中之推廣,簡單定義為彎曲空間中兩點間之局域最短路徑,故又名短程線(圖四)。以地球繞行太陽為例說明,牛頓的重力理論認為太陽以超距作用牽引著地球,導致地球以橢圓軌道環繞太陽運行,但以廣義相對論的術語來說,太陽這種大質量天體的存在本身就會扭曲周遭的時空,地球不過是順著彎曲時空中之測地線運行罷了,就像放置於彈簧床中央的沉重保齡球下陷扭曲床面,而外圍的小彈珠被迫順著壓陷的床面運轉,牛頓式的觀點認為保齡球發出一股無形的引力拉著小彈珠運轉,而愛因斯坦認為小彈珠依然在作不受力的「慣性運動」,只是因為空間幾何形狀不再是平坦的歐幾里得平面,所以它不走直線改走彎曲空間的短程線,牛頓看到的是表象的力學作用,愛因斯坦則更深刻的體認到運動背後隱藏的幾何結構。

但將空間想像成一張有彈性可扭曲的布料是一回事,要將這樣抽象的想法付諸為具體的物理理論卻又是另一回事,愛因斯坦發現欲描述空間重力場的分佈,等同於要找出時空的幾何形狀,就必須使用完全超出自己能力所及的數學,愛因斯坦在創建廣義相對論之前對高等數學的態度雖不至於說輕蔑,卻也稱不上有特殊情感,這可從其批評數學家對狹義相對論的研究略見端倪。

......【更多內容請閱讀科學月刊第581期】

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