2018年2月26日

瑪莉歐與食人花

游森棚/任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。


最近和一些高中數學老師聊天,他們發現第一冊開宗明義談「數(numbers)」,學生很沒有「安全感」:整數、有理數或無理數的介紹多半是概念,,沒題目可以「算」,真是不安心。復以第一個關鍵是:√2是無理數

基本上學生早已經知道 有多大:單位正方形的對角線長度,大概1.414 嘛!它是無理數這件事對認知不會有衝擊,證明它也就看來不那麼重要。況且用到反證法,遠超過大部分高一學生的思維和經驗,於是草草帶過,直接跳到 N⊂Z⊂Q⊂R 的結論。關於無理數的描述大概就這樣結束,這是很可惜的,稍微設計一下,從√2開始可以引出很多有意思的結果,這個月的專欄介紹幾個容易讓學生「有感」的數學,給教師們參考。

影印紙的形狀
現在常用的影印紙有A系列尺寸(A3、A4……)和B 系列尺寸(B4、B5……)。這2 種紙都有一個非常好的特性:將A3 裁半之後就變成A4,或將B4 裁半之後就變成B5,兩邊的比例仍維持一樣。要能夠這樣,紙張可不能亂來,選正方形當影印紙就是一個不智之舉,因為正方形裁半後不會是正方形,我們可以計算要能夠這樣裁時,兩邊的比例會是如何。

假設下圖短邊為a,長邊為b;因為裁半之後短邊比長邊的比例要保持相同,因此得到:


也就是說,要能夠裁半並保持同樣比例(如同A3 或B4),紙的兩邊比必須是:1:√2

這是有趣也簡單的數學,由此可設計一系列的教學活動。但是我不解的是,擁有最先端高科技的美國,日常用紙卻是一種奇怪的尺寸,叫「Letter Size(8.5×11 英吋)」,這種尺寸裁半之後,整個比例就完全不對了。


瑪莉歐與食人花
無理數的「行為(此處借用數學常用的behavior 一詞)」,其實是非常神秘而有意思的。既然 √2=1.414213562373095048…是無理數,所以它的任何整數倍都不可能是整數。換句話說:

如果數線上每個正整數點上都有一隻食人花,瑪莉歐從原點開始,每一步都往右跳 √2 ,那不管跳多遠都不會碰到食人花。

但是現在請學生用計算機按出底下幾個數:70√2、985√2、80782√2、470832 √2

......【更多內容請閱讀科學月刊第579期】


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