2017年11月27日

天文與數學

曾耀寰/任職於中研院天文所,科學月刊社理事長。

現在家庭中所觀賞的大多是有線電視居多,系統台直接將電視節目透過纜線,送到用戶的電視。有些用戶使用數位機上盒,透過天線接收無線節目訊號,更早期的收視方式,是透過天線接收類比訊號的電視節目,當接收頻道不對的時候,電視會出現一片混亂的雜訊,沒有任何有用的訊號,可以說沒有任何規律,相當乏味。

是的,沒有規律是令人乏味,從古自今皆是如此,人類好似天生對規律現象特別在意、特別注意,並且嘗試從中找到更深入的意義,巨石陣(Stonehenge)就是一個例子。

大自然的規律
英格蘭威爾特郡的巨石陣是一座史前建築遺跡,數十個巨石圍成一個圓圈狀,有些巨石高達6 公尺。這個令人嘆為觀止的巨石陣座落在英格蘭已有數千年的歷史,歷經過培根、牛頓、卡文迪西、法拉第、馬克士威和達爾文等偉大的科學家,甚至是第一次和第二次世界大戰,直到最近才有人發現當中的奧秘。1955 年,英國工程學家湯姆(Alexander Thom)發表論文表示巨石陣是一個史前的天文測量儀器。湯姆認為當時建造者在放置各個巨石的時候,並不是隨意為之,他們確保從某些巨石看出去,會和特定日子、特定時候的太陽或月亮一致(圖一),例如在夏至的時候,沿著某顆巨石看過去,是太陽升起或落下的方向。也就是說透過巨石的擺設,可以標示一年當中的特定日子,可算是史前時代的年曆。

說到巨石陣與年曆相關,代表早期人類已經看出大自然的規律,太陽在天空的運行不僅只是一天的規律,還有一年的規律。在夏天的某日正午(夏至),太陽在天空達到最高點,之後向南方移,高度逐漸下降;到了冬天的某日(冬至)達到最低點,然後再向北移,高度逐漸上升,直到下一個最高點,完成一個循環、周年復始,就是一個規律。在古埃及也有一個和農業生產有關的規律。西元前3000 多年,古埃及人發現每年6 月尼羅河會氾濫,蔓延四處的河水帶來豐沛的營養,非常適合農耕。但沒有日曆的預測,農夫沒辦法預作準備,不過古埃及人發現每年尼羅河氾濫的時間,正好和天狼星的偕日升(heliacal rising)一致。天狼星是夜空中最亮的恆星,視星等為-1.46,但它在天空的位置非常接近太陽,有太陽的時候,在埃及是看不到天狼星的,唯有在每年6 月的偕日升,太陽和天狼星都從地平面升起,天狼星這時便可以清楚辨識,這是一種規律。這種星象的規律不僅有助於對農耕,對地中海地區的早期人類航海也有幫助。

圖一:巨石陣的3D 立體圖,藍色是豎立的巨石,紅色實心箭頭指
的是夏至太陽升起的方向。(Wikipedia)



記錄天文現象規律
在中國,懂天象規律的人會被召至皇帝身邊為皇家服務,而中國皇帝又稱天子、天之皇子。過去中國人認為上天會透過天象顯示天機,例如熒惑守心。這是熒惑(火星)在心宿位置出現逆行的現象,根據以往的經驗,必有大凶,例如西漢成帝的天官發現了熒惑守心,過幾天,漢成帝暴斃,王莽稱帝。因此中國古天文學家的主要工作就是長期觀測和記錄天象,從中找到特殊天象出現的規律,以期預測下一次的到來。

記錄現象、找出當中的規律,並用數學預測下一次天文現象,這就是早期的天文學,非常實用。早期天文學不僅運用數字系統,還用到幾何學,這對天體在天空的位置和運動很重要。在西元前200 多年前,希臘人埃拉脫斯特尼(Eratosthenes)就能運用幾何學算出地球的圓周長。埃拉脫斯特尼發現每年夏至正午時份,在亞歷山大城立竿會有較短的影子,在相同時間,距離5000 希臘里(stade,古希臘長度單位,約185公尺)的賽尼(Syene),正午的太陽可以直照到井底,也就是在賽尼立竿看不到影子。埃拉脫斯特尼根據幾何關係可以知道2 座城市與地心的夾角大約是7.2 度(約圓周角的1/50),因此推論地球圓周長是5000 希臘里的50 倍(如圖二)。姑且不論準確度,古希臘人運用圓周曲面,以及平行太陽光的概念,得到地球周長,這是不容易的成就。阿基米德曾說:給他一根棍子,他可以撼動地球,埃拉脫斯特尼則是用一個棍子量出地球的周長。

圖二:埃拉脫斯特尼利用立竿見影以及幾何學,可以推算地球周長。

......【更多內容請閱讀科學月刊第576期】


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哥德巴赫猜想、费马大定理、黎曼猜想与广义相对论量子理论大融合 /王晓明
(博讯北京时间2018年2月04日 来稿)




大自然的运行有两种模式,一种是由一到多,例如树木由一根主干生长到很多树枝树叶,人类祖先最开始只有亚当和夏娃再到数千人到现在70亿;另一种是由多到一,例如千万的山间小溪汇集江河最后到海,再一个就是人类的知识,由多学科多门类融合到一个总理论。

科学最让人不可思议的是它的融合,无数自然现象可以归结为物理学、化学、生物学、。。。

今天的文章注定是一个载入史册,它是人类思维的辉煌壮举,它把数学中最经典的哥德巴赫猜想、费马大定理、黎曼猜想、欧拉公式和广义相对论量子理论的m理论融合在一个模型里。

法兰西斯·古德里于1831年生于伦敦,在1852年提出的猜想,只需要四种颜色为地图着色。这是因为他发现在平面上或者球面上,只能有4个区域两两相连,英国数学家德摩根证明了平面上不存在5个区域两两相连。

1974年德国的林格和美国的杨斯证明了在曲面上染色定理,例如,在一个汽车轮胎形状的环面需要7种颜色,因为可以构造7个两两相连的区域,6种颜色肯定不够的;在有两个洞的双环面需要8种颜色,因为可以构造8个两两相连的区域,7种颜色肯定不够的;。。。

数学家证明了可以构造无穷多个两两相连的区域。
如果你不能理解,让我慢慢道来:
现在有两根管子,一个记为1,一个记为2,它们代表两个区域。我们假定所有的管子都是可以随意拉伸和弯曲的。把两根管子端端相连,就是一个汽车轮胎一样的环,它有两个区域,我们再用一根直管子记为3,安在这个环的中间,一头连着区域1,一头连着区域2,现在它是有两个洞的双环了,有三个区域两两相连。
现在我们用一个“丁”字型的三叉管,记为区域4,三个端口分别与区域1,区域2,区域3相连。于是现在有4个区域两两相连;
我们再用一根四叉管记为区域5,4个端口分别与区域1,2,3,4相连,现在有5个区域两两相连。
这个步骤可以无限制进行下去,用五叉管,六叉管,。.。构造无穷多个区域,它们都是两两相连的。
数学家和物理学家把这个叫做岐管。

在数论中,最重要的元素就是素数,欧几里得证明了有无穷多个素数,并且它们有一个特点就是两两互素。无穷多个两两互素的素数与无穷多个两两相连区域一一对应。
就是说用这个方法把数论与图论联系起来,这个方法的意图叫做朗兰兹纲领。

区域1,代表第一个素数2,第二个区域代表第二个素数3,。.,第n个区域代表第n个素数。
我们把这个岐管倒过来,就像一个网子,篮球网子。篮球网子是把篮球往里面投。

公元前300年古希腊有一个数学家叫做埃拉特斯特尼,他把这个网子当成筛子,把自然数往里面扔,他说凡是合数通过筛子以后就会从网子里面筛掉,留下的是素数,这个就是著名的埃拉特斯特尼筛法。

我们上面这个岐管筛子是把偶数往里面扔,哥德巴赫说,大于4的偶数一个也不会漏出筛子,除了6=3+3以外,其他偶数都是可以在不同的素数区域被拦截。例如8会在区域2也就是素数3和素数5(第三个区域)被拦截;偶数10会在素数3和素数7的两个区域之间被拦截;。.。总之,无穷多个偶数都逃不脱这个网子,没有一个偶数可以漏到外面去。

看到没有?数论与图论已经融合一起了。
这个还不算神奇,这个岐管的内部空间我们记为X,外部空间记为Y,它有很多洞,可以有无穷多个洞,可以有无穷多个空间维度n,宇宙内外整体记为1,就是说Xⁿ+Yⁿ=1,这个叫做费马曲线,它是由费马大定理Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ同时除以Cⁿ得到的。
费马大定理与哥德巴赫猜想联系起来了。

物理学家认为,宇宙是10维空间或者11维空间,或者26维空间等5个版本。还有物理学家认为有无穷多个维度的空间。他们管这个理论叫做玄理论或者M理论,是把广义相对论与量子理论结合一起的终极理论,霍金说是最后的理论。

数学家考虑的是怎样计算这个岐管上的区域或者计算区域上面的一个点。如果岐管上某一个区域k,k上的一个点是1/K,因为这个岐管有无穷多个维度,或者很多维度,我们要定位这个点,就要考虑它的管壁——实部,还有考虑它的内外空间位置——虚部。
所以,这个点1/K^S,S=α+βi。
i是虚数,α表示实部,实部当然是1/2,因为这个多维宇宙等于1,岐管属于实部,实部上的点当然是1/2。这个正是黎曼函数黎曼猜想ζ(s)=Σ1/K^S(符合打不出来,补充说明:Σ上端是∞,下端是k=1)。
黎曼猜想与费马大定理联系起来了。

虚部怎么计算呢?岐管内部看成一个圆管,在岐管上的一个点1/K^S,做一个截面,就是一个圆。大家知道欧拉公式吗?e^πi+1=0.。以e^0=1开始,以相对速度i,走了π时间,再加1,回到原点。
我们设岐管上的点1/K^S为Δ,那么,e^Δi=-1。
欧拉公式在2011年被评为世界上最美的10个公式之首。
我们的宇宙是由数学最经典的问题和物理学最经典的问题组成的。

我激动得放声大哭,欧几里得、埃拉特斯特尼、欧拉、高斯、黎曼、费马、德摩根、林格、杨斯、。.都跑出来看,骂了一句“神经病”。 [博讯来稿] (博讯 boxun.com)