2017年1月3日

尿液篩檢的數學思考

作者/陳宏賓( UniMath 主編、逢甲大學應用數學系助理教授。最喜愛組合數學領域,主要研究興趣是群試理論。有莫名的使命感,創立UniMath 電子數學媒體,致力於推廣數學文化。)
(shutterstock)
根據衛生福利部食藥署歷年來公佈的反毒報告書顯示,近年來經學校相關處室通報的染毒人數日漸增加。反毒報告書特別指出,「落實尿液篩檢為防治毒品氾濫重要手段之一,及早清查發現濫用藥物者,給予適當輔導諮商與戒治,方可達到防制藥物濫用之功效」。把所有施用毒品的學生都揪出來,乍聽之下不失為一個好主意,日漸增加的染毒人數也引起了社會各界對校園毒品防治的關注,甚至有大企業家慷慨解囊贊助某市政府大筆資金,替所有校園內的學生進行全面性藥物尿液篩檢。另一方面,全面尿檢政策的執行引起不少人的擔憂和疑慮,其背後有許多面向的議題值得深入思考,包含「全面尿檢的人權問題」、「藥物半衰期短的成效問題」、「造成師生關係對立的班級經營問題」、「學生被貼標籤的校園霸凌問題」、「擴大尿檢對象的預算問題」、「檢驗準確度問題」等。


寫到這裡, 腦中浮現了數學大師諾伊曼(John von Neumann)的名言:「如果人們不相信數學是簡單的,那只是他們還不明白人生有多麼複雜。」所以,放心!我並不是要告訴你數學可以解決上述的所有問題。我想說的是:「這裡面有沒有數學可以派上用場的地方?答案是有的。」

貝氏機率的考驗
首先登場的是「檢驗準確度問題」,起碼看起來最像一道數學題。要知道所有化學藥物的檢驗過程中,誤檢是幾乎無可避免的,錯誤發生的原因很多,不一一分述,有人為的、也有非人為的(比如儀器本身的限制)。而誤檢產生的結果則大致可分為兩類:(1)偽陽性:受檢者沒有吸毒,結果卻被判定為陽性;(2)偽陰性:受檢者為吸毒者,卻被判定為陰性。

有統計專家指出,即使尿液檢驗機構宣稱每一次尿檢可以達到非常高的99% 準確度,最後呈現的結果仍然很可能會造成極大的災難,其原因正是統計學中著名的「貝氏機率」造成的偽陽性陷阱。「貝氏機率」算的是在特殊條件下,某一事件發生的機率。

災難從何而來?這麼說好了,假設一個3 萬名學生的城市中吸毒比例為x=0.1%,則會有30 名吸毒者,在此城市實施全面尿檢且檢出率為99% 的話,那麼估計會有30×99% 名陽性加上29970×1% 偽陽性檢出。即是,初檢陽性總數大約為330 名,其中偽陽性高達將近300 名。設身處地的想一想,萬一我剛好是尿檢結果呈現陽性的學生,真正涉及吸毒的可能性只有不到10%,陽性檢出樣本中被誤判的比例高達9 成,而這樣的誤判可能會讓我的腿被我老爸打斷!在複檢結果還來不及出來之前。

對數字比較敏感的讀者應該已經發現,誤判比例高達9成的關鍵性因素在於「未吸毒者佔整體比例太高」。依照上面的估算,若城市裡學生的吸毒人口比例x 改為1%,則誤判的比例大約5 成;如果x=10%,誤判比例約為1 成。根據衛福部公佈的102 年度防毒報告書,各級學校所掌握的特定人員數量大約為15187 人,最後確認為吸毒者的有1292 人,x 還不到9%,即使誤判比例只有1 成,當初可能有130 人因此人生變成黑白的。萬一全面尿檢的話,恐怕情況會更不樂觀。

解決初檢偽陽性樣本過多的一個方法,是針對初檢陽性樣本再進行一次檢驗,簡單的機率P 可以算出(以99%檢出準確度來算):

P(一個未吸毒者連續兩次檢驗被判定為陽性的機率)=0.01%

萬分之一看起來是令人可以接受的結果,不過,這樣的方式對於偽陰性卻一點改善都沒有,對毒品尿檢來說,偽陰性頂多就是讓吸毒者暫時逃過一劫罷了,但在其他應用上,偽陰性造成的後果有可能比偽陽性更嚴重。

什麼方式可以同時降低兩類誤檢?
最直接的方法就是所有檢測重複進行3 次,這樣子即使發生一次錯誤,也能夠正確判斷,無論是偽陽性或偽陰性都能夠校正回來。透過這個作法,能夠將誤檢率下降到萬分之一。只是如此一來,整個尿檢成本將提高3 倍。很明顯,在檢驗成本和誤檢率之間存在一種抵換關係,正是魚與熊掌不可兼得的概念!(有別於初檢,在現行的〈濫用藥物尿液檢驗作業準則〉中,複檢將使用更精密的檢測方式進行,因此成本較高也較費時)

群試理論
像這樣子全面性大規模檢驗的問題不是第一次發生,二次世界大戰期間,美國就曾遭遇類似問題。為了應付突發的戰爭局面,美國政府急需徵召大量士兵投入戰場,當時的時空背景下,傳染病梅毒是另一個難纏的敵人,若不幸在軍隊中擴散開來,將大大折損戰力,美軍自然不希望發生此事。當時梅毒的檢驗方式是驗血,但若要一個一個士兵進行血液檢測,所需的成本極高,恐怕讓因戰爭而遭遇困境的經濟更雪上加霜。這時,在研究中心工作的朵夫曼(Robert Dorfman)博士提出了現在稱為〈群試理論〉的想法,可以大幅降低檢測的成本。

想法很簡單,即是透過將若干血液樣本混合在一起然後檢測,如果呈現陽性反應則表示混合的樣本中至少有一件受到病毒感染,若呈現陰性,則混合的樣本都判定安全。如此一來只需要將有疑慮的樣本一一進行檢驗即可。由於每次陰性的檢定結果可以判定許多樣本同時都是安全的,一次接著一次進行檢驗(逐步檢驗法),很快就能夠把「可能為陽性的樣本數」大幅減少,問題就順利解決了。在理想狀態沒有誤檢的情況下。這中間會有許多技術性的問題存在,例如:現行法規對於檢驗流程的限制、混合後陽性判定標準、混合後內部化學干擾效應等,針對非法規面的限制有一些相對應的數學模型被發展出來,礙於篇幅,我們這裡忽略不深入細談。 ......【更多內容請閱讀科學月刊第565期】


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