2016年11月30日

諾貝爾物理獎 拓樸理論 提供物質新觀點

作者/張泰榕(國立清華大學物理系助理研究學者,專長為理論計算物理,研究興趣廣泛,包括各種拓樸材料,多鐵材料,低維度材料,磁性過渡金屬氧化物,超導材料與半導體。)、曾郁欽(國立中興大學物理系博士候選人,專長為強關聯量子系統,一維磁性模型,密度矩陣重整化群。)


索利斯(David J. Thouless, 1934 ~)
國籍|英國
現任|華盛頓大學榮譽教授
研究領域|凝聚體物理學
(University of Washington)



2016 年的諾貝爾物理獎頒給了三位理論物理學家,美國華盛頓大學的戴維· 索利斯(David J. Thouless)、美國普林斯頓大學的鄧肯·霍爾丹(F. Duncan M. Haldane)以及美國布朗大學的約翰·科斯特利茨(J. Michael Kosterlitz)。得獎理由為「拓樸相變(topological phase transition) 與物質拓樸相的理論發現」。

故事開始⋯⋯
我們生活周遭充斥著各種「物質」,例如金屬、絕緣體和半導體等,現今的科技成就,大部分可說是奠基於對物質的深入了解。另一方面,科技與科學的進步建立於典範的轉移,如愛因斯坦的相對論開闢了一個異於牛頓力學的全新視野,讓我們能從完全不同的面向去認識宇宙。今年獲獎的三位大師均來自英國,運用高超的數學技巧及敏銳的物理直覺,以「拓樸(topology)」這全新的觀點來理解物質,替人類對物質知識的建立開闢了一條全新的道路。

科斯特利茨(J. Michael Kosterlitz, 1942 ~)
國籍|英國、美國
現任|布朗大學物理學教授
研究領域|凝聚體物理學
(Brown University)
物質態與相變
在介紹這些讓人興奮的非凡研究之前,讓我們翻開自然課本,打開塵封已久的記憶,重新回顧一下我們對物質的了解。如果沒有把課堂知識全部還給理化老師,應該可以回想起物質可分為三態:氣態、液態與固態。這三種物質態各自表現出來的物理特性有著極大的差異,例如冰很硬,被砸到會很痛;水會弄溼衣服,涼涼的。三態之間可以互相轉變,例如水可以
變成冰(液態變固態),科學家稱這種轉變為相變(phase transition)。相變的研究在科學領域中佔有至關重要的地位,因為相變的發生代表著物質態產生劇烈的變化。通曉其中的奧秘,無論對於自然界本質的了解或是未來科技上的應用,都有著無可忽視的巨大潛力。

霍爾丹(F. Duncan M. Haldane, 1951 ~)
國籍|英國、美國
現任|普林斯頓大學物理學系教授
研究領域|凝聚體物理學
(F. Duncan M. Haldane)
科學家如何分辨相變?
1980 年以前,物理學家會以「對稱性」來對物質態進行分類,當對稱性發生變化同時即反映了物質的相變。為了顯示其專業性,我們給了這種分類方法一個專有名詞:「對稱性破缺(symmetry breaking)」。什麼是對稱性呢?如圖一,一個正方形對其中心旋轉90 度後外觀上看來與旋轉前完全相同,你無法分辨是否有做過旋轉,但旋轉70 度則不同,我們稱正方形具有90 度旋轉的對稱性。如果是圓,則是旋轉任意角度皆不變,因此圓的對稱性比正方形來的高。現在我們將這觀念套用上對稱性破缺,來看一個相變的實際例子。當我們對液體降低溫度後,液體會凝固變成固體,發生液態– 固態相變。

圖一:正方形,對其中心旋轉90 度後外觀上看來與旋轉前完全相同,無法分辨是否有做過旋轉,但旋轉70 度則不同,我們稱正方形具有90 度旋轉的對稱性。正圓,則是旋轉任意角度皆不變。下圖,原子在液體中可隨意排列,因此液體可以任意改變形狀,無論從哪個角度看都是相同的。但固體則不然,當液態轉變成固態的同時物體中的原子排列會發生非常劇烈的變化,從雜亂無章變成如軍隊般的排排站好,此時你無法任意改變物體外型,且從不同角度觀看皆會看到不同幾何形狀。






液體因為內在原子任意分佈,可以輕易改變外觀形狀,無論從哪個角度看都是相同的。但固體則不然,當液態轉變成固態的同時,物質內部的原子排列會發生非常劇烈的變化,從雜亂無章變成如軍隊般的排排站好,此時你無法輕易地改變物體外型,且從不同角度觀看皆會看到不同幾何形狀。和液態相比,固態的對稱性明顯低了很多,我們以這簡單的例子說明對稱性變化即對應物質相變的發生。

此時好奇的你∕妳一定會想問,是不是所有自然界的相變都可以用對稱性破缺來描述?有沒有例外?另外如果我們是居住在一維或二維世界的生物,那對稱性破缺的概念還能不能用?還會不會有相變?沒錯!解答這些問題正是這三位物理獎得主最重要的貢獻,他們的研究工作讓我們對相變的認識有了全新的視野。

問題來了!
早期的研究發現,一維或二維系統中只要溫度高於絕對零度(-273.15°C),哪怕只比絕對零度高出0.1° C,有序排列的狀態就會被無可忽視的熱擾動(thermal fluctuation)所摧毀而無法產生對稱性破缺。根據先前提過的「對稱性改變等於物質發生相變」的邏輯思路來推想,會得出此種情況下無法發生相變的結論。但大自然真的是如此嗎?

圖二:KT 相變。箭頭為磁矩方向,左圖渦流成對出現,在升溫經過相變之後則單獨出現(右圖)。這類相變並不涉及對稱性改變,需引入拓樸的概念才能有效的解釋。(修改自Nobel Prize)

突破性的開端,KT 相變
為了徹底理解二維相變問題,1970年左右索利斯與科斯特利茨提出一個理論模型,他們假設在二維平面上有無數個小磁鐵(精確來說是二維向量場)。如果依照傳統對稱性相變理論,因為沒有對稱性破缺,這些小磁鐵應該會隨意的各自指向不同方向(可以想成一堆沒受地磁影響而亂轉的指北針)。然而他們的模型卻顯示出完全異於直覺的結果。這些小磁鐵在慢慢增加溫度時會產生成對的渦流(vortex),一個向左轉、另一個向右轉,兩兩成對,無一例外(圖二左)。如果繼續升溫,當溫度高過一定程度後,這些渦流會好像情侶分手一般不再成對出現,而喜歡單獨出現,形成各自的渦流(圖二右)。在這變化途中並不涉及對稱性變化,但小磁鐵卻表現出兩種不同的集體行為(成對渦流或單一渦流),證實了相變的發生。這是人們在相變的研究中第一次超越了對稱性的限制。這種相變被稱為「KT 相變(KT phase transition)」。索利斯與科斯特利茨之後理解到這種奇異的二維相變行為需要拋棄幾何的包袱,引入「拓樸」的概念才能有效的解釋。

拓樸非常重要!
這邊稍微離題來聊一下「拓樸」。「幾何」是我們求學過程中較為熟悉的,就是圓形、三角形、正方形等不同圖型。討厭數學的同學可能會想起每次考試都要絞盡腦汁計算不同形狀的邊長與夾角等不堪回首的記憶。比起幾何,拓樸對我們來說就比較陌生。拓樸正好和幾何相反,在拓樸世界中我們不需去理會物體的外在形狀,只要去留意上面有幾個「洞」,洞的數目相同代表相同的拓樸,洞的數目不同則代表不同的拓樸(圖三左)。在不改變洞的數目的情況下,如果一個物體能連續變化到另一個物體,那這兩個物體的拓樸就是相同的。最耳熟能詳的例子:一個有把手的咖啡杯和一個甜甜圈的拓樸是相同的,但和具有兩洞的眼鏡是不同的。甜甜圈能連續變化成有把手的咖啡杯,但除非你在甜甜圈上多開一個洞,不然它絕對無法被你扭成眼鏡。

圖三:上圖表示各種不同拓樸下的變化過程,每條同顏色線段內的拓樸都相同,不同顏色線段的拓樸則不同。例如橘線段區域內的物體都沒洞,藍色有一個洞,紅色有兩個洞。下圖是量子霍爾效應電導的拓樸示意圖描述。無電導在拓樸圖像中就是沒有洞(如圖中的杯子),兩倍電導是兩個洞(如圖中的眼鏡),以此類推。(修改自Nobel Prize)

......【更詳細的內容請見科學月刊第564期】


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