2016年10月28日

懸賞百萬美金的質數難題

作者/李武炎(曾任教於淡江大學數學系,現為《科學月刊》編輯委員。)




(插畫:吳宛蓁)

數論是一門古老的學問,它曾被高斯形容為數學皇后的皇冠,數論中的敘述都很淺顯易懂,與生活較相近,所以很吸引人,中學生做科展時常拿與數論有關的題材作為研究的題目。數論中最重要的元素就是質數,質數問題也是現今中學數學常見的習作,但是有關質數的分佈卻相當奧妙。本文所要介紹的是與質數有關的猜想,數學家付出很多心力研究,但迄今仍未能徹底了解。

質數的奧秘
1900年,德國數學家希爾伯特(David Hilbert, 1862~1943) 在巴黎的第二屆國際數學家大會上,提出了23道重要的數學問題,當中的第8個問題與數論有關,包含了3項猜想:黎曼猜想、哥德巴赫猜想與孿生質數猜想。黎曼猜想是德國數學家黎曼(Bernhard Riemann, 1826~1866)於1859年首先提出,也是美國克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute) 在西元2000年時, 懸賞美金100萬元的7項千禧年大獎難題之一(其他6項分別為:P/NP問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼猜想、楊–米爾斯存在性與質量間隙、納維–斯托克斯存在性與光滑性、貝赫和斯維訥通–戴爾猜想,當中僅有龐加萊猜想獲得證明)。

黎曼猜想是關於黎曼函數的零點分佈的猜想,質數分佈的奧秘也蘊藏在黎曼函數之中,黎曼猜想的解決對質數分佈的細緻規律有決定性的影響,對近代密碼學及通信科技會有突破性的發展,因為通信安全會利用到密碼加密的技術,而密碼技術的基礎倚賴於特定計算問題的困難度,例如超大數的質因數分解,這與質數分佈規律有關。













黎曼是黎曼幾何的創始者,為20世紀愛因斯坦的相對論的上場鋪設舞台,他是史上第一個建議使用高維度空間來描述物理現象的人,他的研究在分析、數論及微分幾何都有很大的貢獻,可以說是高斯的學生中極為傑出的一位。他曾接承他的老師狄利克雷(Peter Dirichlet)成為當時數學重鎮哥廷根大學數學系的系主任,是一位深具影響力的數學巨擘。......【更詳細的內容請見科學月刊第563
期】




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