2016年8月31日

無所不在的圖論

作者/賴以威(數感實驗室共同創辦人、數學作家、教育工作者,文見《聯合報》、《國語日報》、《未來少年》等媒體。)


(插圖:吳宛蓁)

我傳訊息給小昭(她是我暗戀的大一學妹):

「晚安,在幹嘛呢?」

「世杰晚安 :) 下週要考試了,都念不完 :(」

我抬頭看螢幕,遊戲「正在讀取中」的柱狀圖走到3/4,心裡閃過一絲罪惡感。

「我也正要準備念書。」

我沒說謊,準備三小時後念書。小昭很認真,每晚都會複習課業。如果是別人我早就回一句「今天也去了安親班嗎?」、「不,我不是說打工,是說你去上安親班,繳學費的那方。」但小昭只會讓我自慚形穢,她好上進,我好糜爛,連反省也只願意挑遊戲讀取的空檔。

遊戲開始,MathKing 跟我走同一條路線,那是孝和的帳號。孝和,是簡稱「數青」的數學青年。

「她每天都用念書當藉口來拒絕你嗎?」

「我還沒約!」

我點擊滑鼠,對一隻小兵用了大絕招,小兵被炸得四分五裂。

「被說中心虛就算了,不要浪費魔法點數。」

「該怎麼幫助小昭念書更有效率啊?」

我們在系上的電腦教室。雖然可以在家玩,但坐在旁邊的感覺還是不一樣,所以我們常這樣,照我剛剛跟小昭的說法是—— 留在系上念書。

「但她也沒有接說『改天一起念書』。」

孝和一臉「怎麼可能」的表情看著我。

「用網路聊天很開心,但人與人深交還是需要見面啊,就像我們要坐在一起打電動。」

「我們只是說垃圾話比較方便。你們也說垃圾話?」


「我們說情話!見面才能看見表情,知道她說話的時候是微笑、大笑、還是嬌羞。見面才能聽見聲音,知道她的語氣是輕快的,還是不帶情感,又或者是害羞。」

「你有病,一直希望對方害羞。」

我用連續技解決掉敵人,繼續說:「見面才能看見整個人,她的手托腮嗎?還是放在桌上?放在腿上?還是放在我的手上。」

「這已經是發花癡,不是在講見面的意義了吧。見面的確有意義,有更多資訊,就能更了解對方的心思。」

孝和從旁邊突襲,發動範圍技,我們少打多一口氣解決了3 個玩家。

「被你說得好像在測謊。」

大概是從我遊戲人物中的步伐中看出了沮喪,孝和自以為不著痕跡地安慰我:「或許她是真的在念書吧。」

「你也這麼覺得嗎?」

「我們是不是這麼覺得不重要,而是只能這麼覺得。畢竟就算這真的是藉口,你也不能怎樣。哎專心一點!」

我的弓箭手角色在會戰時走到最前線,連一發箭都沒射出就領便當了。

孝和對盯著螢幕發呆的我嘆了口氣,說:「不要只會打順手球啊,你應該用數學來一場大逆轉。」

「念書其實就是時間管理。大學以前的課業有範圍。作為第一順位,念書的目標是:用最少時間,學懂該學的知識。得趕快念完才能去玩。這是一個最佳化問題,目標是時間,限制是要念的書。」

孝和跟我拉了兩張椅子坐在印表機旁,他繼續說:「大學後,念書是眾多事情的其中一項,範圍又不像高中那麼固定。所以念書目標轉變成:在一定的時間內,念完最多書。」

「差別在哪?」

這不就是同樣一件事換句話說嗎?

「最佳化問題改變了,要最佳化的是吸收的知識量,限制是一定的時間。大學以前念不完就不敢睡覺,現在是最多念到12 點,能念多少算多少。」

孝和抽了張印壞的列印紙,在背後寫上了:

高中:minimize 念書時間, subject to 要念的書≥考試範圍
大學:maximize 要念的書, subject to 念書時間≤ 2 小時

「subject to 後面接的就是限制,要滿足這個限制條件。這稱為受限的最佳化(constrained optimization),這兩個問題差別在於,最佳化的目標跟限制式剛好對調⋯⋯。

一聲遊戲輸掉的髒話打斷孝和,他像當機一樣停了幾秒,接著說:「給定時間內最有效率的念書方法,我自己的經驗是『不同性質的科目交替念』,才不會因為一直算數學而彈性疲乏。」

我盯著孝和不說話,他不耐煩地補充:「一般人的狀況,我是沒差。」

「你應該只想念數學吧。」

「如果其他科有數學的一半有趣,我會考慮多喜歡他們一點。」

「竟然對數學做這種噁心的告白,不過我會學起來的。」

我繼續說:「但以我的狀況來說,我喜歡一次念完同性質的科目。」

孝和點頭:「每個人念書習慣不同,但我們都同意,存在一種最適合自己的念書順序。現在,假設一位同學有7 科要念:物理、數學、化學、國文、歷史、地理、英文。他的念書習慣是:數學前後要接物理跟化學;物理前後是化學、數學、不過物理太多應用題所以也可以是國文;化學跟物理類似,前後可以是數學、國文、物理;國文前後是物理、化學、也可以是歷史、地理;歷史跟地理、國文接著念,有外國史所以也能接著英文;地理跟歷史類似,前後接歷史、國文、英文。英文則只能接在歷史、地理之間念。」

「有要求這麼多的嗎!又不是挑食,念書還有這麼多規矩,在念書之前他可能得先花上1 倍的時間擬定念書計畫吧。」

我不以為然,孝和在我埋怨的同時低頭畫了1 張圖:


「柯南的領結?」

「他叫做『圖論』,用來表示關聯性的一門數學。」孝和的數青模式要啟動了。

「它緣起於『柯尼斯堡橋(Königsberg)問題』:柯尼斯堡有7 座橋,當地居民在橋上散步、遛狗,久而久之,他們好奇能不能在不重複的情況下,一次走完7 座橋。」我又盯著孝和看。他嘖了一聲說:「不信的話自己上網查。有人拿這個問題問數學家歐拉(Leonhard Euler)。歐拉覺得莫名其妙,他沒去過柯尼斯堡,這也不是數學問題,幹嘛問他。」

「就算是數學問題我還是覺得莫名其妙。」

「但歐拉很快就發現,他可以『證明』沒辦法一次走完。」

「他去了柯尼斯堡一趟?」

孝和不以為然地笑了一聲:「數學家可以抽象化問題,解決了抽象問題,同等於解決了現實問題。根本不需要去柯尼斯堡走一趟。」

「我要是柯尼斯堡鄉民,我才不會信一個連走都沒走過的人的話。」

「真相的存在,並非取決於人們是否相信。」

「再加個風景照,弄個字體,就可以把這句話做成長輩圖了。」

......【更詳細的內容請見科學月刊第561期】



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