2016年8月15日

簡諧運動之美

作者/許良榮(國立臺中教育大學教授,著有「玩出創意」系列專書4本,其中《玩出創意2:48 個酷炫科學魔術》獲第36屆金鼎獎。)、王芝縈(國立臺中教育大學科學教育與應用學系碩士班研究生,目前為臺中市信義國小自然科代理教師。)、吳家榕(國立臺中教育大學科學教育與應用學系碩士班研究生,目前為臺中市太平區新光國小自然科代理教師。)

「單擺」是擺錘來回擺動的一種簡單運動,理論上如果擺動的角度很小,擺長近乎直線,則可視為「簡諧運動(simple harmonic motion)」。在單擺的教學上,經常著重在週期與擺長關係、作用力分析、數學推演等,較少具有引起學生學習動機的趣味性實驗。以下介紹有關於簡諧運動的趣味實驗,利用懸掛為Y型的單擺,畫出漂亮的幾何圖案!

--- 單Y型單擺 ---

實驗裝置與操作過程

本實驗是利用一個懸掛為Y 型的單擺,繪製出特定幾何圖形的操作。實驗器材與製作頗為簡易,操作過程如下:
1. 取一寶特瓶,用圖釘在瓶底以及瓶蓋的中央各鑽一個洞。注意:瓶底的洞避免過大,能讓水滴出來即可。
2. 將棉線穿過寶特瓶瓶蓋並打結,以便可以吊起寶特瓶。
3. 如圖一,以棉線將寶特瓶吊起來,並以另一條較短的棉線固定成Y 型,並注意調整為對稱形狀,而寶特瓶距離地面的高度約3 公分即可。
4. 在地上鋪一張白紙,再將食用色素染色的水倒入寶特瓶中。
5. 將寶特瓶往旁邊提起(棉線需維持拉直的狀態),提起的角度建議不要超過10 度,然後鬆手放開,讓寶特瓶自由擺動,觀察滴出的水形成的軌跡,可以發現寶特瓶在紙上畫出特定模式的幾何圖形。
圖一 

本實驗為一種「Y 型單擺(Y-suspended pendulum)」的複合擺,因為上方的Y 字型部分比一般單擺多加了一條斜線。由於擺動時多了一個向度的影響,使得擺錘在平面的投影軌跡,不是單純的一直線。同時隨著寶特瓶(擺錘)提起的位置不同,會畫出不同的圖形。而滴出的水的軌跡,一開始似乎沒有什麼規律,但再仔細觀察,可以發現會沿著相似的路徑運動,而運動一周所花的時間也大致是相同的,只是圖形愈畫愈小而已。

此種利用擺動與旋轉運動過程所繪製的圖形,常被稱為「諧波圖(harmonograph)」, 並且與「利薩如曲線(Lissajous curves)」有關連性。( 利薩如——Jules Antoine Lissajous——為法國數學家,1822~1880)「利薩如曲線」是兩個沿著互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡,改變下述公式的振幅、角度、頻率比率等等,可以畫出不同的幾何圖案。


【更詳細的內容請見科學月刊第560期】

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