2016年4月1日

拼滿平面的五邊形

作者/游森棚(任教於台灣師範大學數學系及空軍官校。)

三歲多的兒子上個月做了一件讓人高興的事:他拿著一個拼圖方塊,非常認真地比對,思考手上的這一塊圖案要拼進去是對是錯。我是又驚又喜,哇,開竅了。因為之前他都毫無規律,亂拼一通。拼圖的背後很有一些數學學問。復以去年的拼圖界(如果有這種界的話)有大進展,這個月跟讀者分享,以慶祝兒子拼圖能力的大躍進。

數學關心的拼圖是抽象的拼圖──簡單來說,給定一些可以用的拼片,給定一個想拼的區域。數學家想知道的問題大概可以分成這三大類:
1. 能不能拼得成?
2. 如果能拼成,有幾種方法?
3. 裡面隱藏著什麼結構?

這些並不是無聊的問題──拼圖除了是組合數學以外,和代數學以及物理的統計力學(statistical mechanics)都有密切的關係。以上的三個問題,每一個問題都「真的」很困難,都沒有一勞永逸的解決方法。

我們這個月要介紹的數學問題,目標是找到特殊的凸多邊形,用這種凸多邊形可以拼滿整個平面。比如說,任何一個三角形一定可以拼滿整個平面(讀者想一想為什麼?)。

這問題在五邊形時特別困難。在去年之前,數學界只知道14種(每一種或許是指「一小類」)凸五邊形可以拼滿整個平面,而且三十年來沒有任何新的發現。 去年的大進展就是找到了第十五種五邊形,用這種五邊形可以拼滿整個平面( 圖一)。每一塊五邊形都是全等的。......【更詳細的內容請見科學月刊第556期】





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