2016年3月7日

希爾伯特大師的第一道數學難題 ─連續統假設

作者/李武炎(曾任教淡江大學數學系,現為《科學月刊》編輯委員。)

希爾伯特(David Hilbert,1862~1942)被公認是19世紀與20世紀初最具影響力的數學家,1900年在巴黎舉行的國際數學家大會中,他提出23個一系列的數學問題。這些問題都是當年尚未解決的難題,但這些問題同時也為20世紀的數學發展勾勒出研究方向,大多數的問題都已經在20世紀獲得了解決,我們希望介紹其中幾個比較不是太專門的問題給「科月」的讀者。

本文所要介紹的是這23個問題的第一個,那就是「連續統假設」(continuum hypothesis),這是一個關於無限集合的大小問題。試問:「是否存在一個大小介於自然數與實數之間的集合?如果不存在,那依照大小排序,自然數與實數兩集合就是接連緊臨的。」,這個假設就是「連續統假設」。

集合論的誕生
「連續統假設」最早是由康托爾(Georg Cantor,1845~1918)提出,康托爾是「集合論」的創始者,這是數學演進的一個非常重要的里程碑,「集合論」被視為整合數學學門眾多領域的基礎,特別是在拓樸、分析與代數方面,提供了非常優美的架構,也是非常有價值的研究工具。集合論中有一個非常重要的概念叫基數(cardinalnumber),如果兩個集合A與B之間可以建立一個一一對應的函數關係,則稱A與B具有相同的基數,因此{a, b, c} 與{ 張三,李四,王五} 兩個集合便具有相同的基數,而此基數定為3。 ......【更詳細的內容請見科學月刊第555期】

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