2016年3月29日

黑體輻射的直觀理解

作者/吳其錡(現就讀國立臺灣師範大學化學系二年級。)、李祐慈(國立臺灣大學化學系學士,美國麻省理工學院物理化學博士,現任國立臺灣師範大學化學系助理教授。)

1900年,42歲的蒲朗克(Max Planck, 1853~1947)在德國物理學會發表了《標準光譜之能量分布定律》(On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum),提出對黑體輻射實驗觀察的理論推導,當中介紹了電磁波能量量子化(energy quantization):E=hv的觀念。此舉在物理學的發展史上具有劃時代的意義,通常也被視為量子力學(quantum mechanics) 興起的開端。所有近代物理學課本,要介紹量子力學時莫不由黑體輻射談起。

黑體輻射的自然現象,其實早至上古鐵器時代就已為人所知。當加熱鐵塊時,之所以能夠感受到「熱」,是因為熱輻射傳導紅外線至皮膚表面。加熱至相當溫度後,鐵塊會呈現由黃紅色至藍白色(若使鐵塊保持不汽化的狀態下),則是因為被給予的能量上升,所放出的最強輻射頻率藍移至可見光區。

圖一:加熱至高溫時,木炭呈現紅色。

黑體輻射模型
所謂黑體是一個理想化的模型,可以吸收所有照射於表面的電磁波,在某溫度下達熱平衡後會釋放出特定的電磁波光譜圖。早期對黑體輻射光譜的定量理論,是由觀察不同溫度下所測量的光譜中歸納出的維恩位移定律(Wien's displacement law)與斯特凡波茲曼定律(Stefan-Boltzmann law),如圖二。在能量子的概念發展出來之前,科學家試圖以古典統計力學出發,來解釋黑體輻射光譜分佈的瑞立京示定律(Rayleigh-Jean’s law)在低頻部分符合實驗上的測量,但在高頻部分卻會無止盡的上升。以瑞立京示定律計算,則黑體輻射強度在頻率趨近於無窮大時亦趨近於無窮大,也就是說無論在任何溫度下任何物體都會輻射出超強的高頻紫外光,這顯然與物理事實不合,又被稱為「紫外災變(ultraviolet catastrophe)」。1900年蒲朗克發表的論文針對的正是這個問題。他在推導的關鍵過程中引入能量不連續E=hv的概念,解決了不合理的紫外災變現象,也使導出的曲線不只是定性上類似,甚至在定量上可完全重現各種實驗條件下所觀察到的光譜圖(如圖三)。


圖二:在不同溫度下測量的黑體輻射光譜。溫度越高,光譜之波峰對應到的頻率越高、波長越短(維恩位移定律),所發出的總電磁波能量越強,亦即光譜涵蓋的面積越大(斯特凡波茲曼定律)。

圖三:兩種描述黑體輻射光譜的理論:由古典力學出發的瑞立京示定律及引入能量子概念的蒲朗克黑體輻射定律。

但要能夠清楚說明,何以僅僅是引入能量不連續E=hv的概念,就能神奇地導出完全符合實驗觀察的曲線,卻不是件簡單的事。進階的物理教科書中,導證瑞立京示定律和蒲朗克黑體輻射定律時,至少需依序討論四個重要的觀念,分別是空腔中可存在之不同頻率諧振盪(harmonic oscillation)的能量狀態密度(density of states)、熱力學中的能量均分定理(equipartition theorem)、電磁波與物質交換能量之最小單位(E=hv)、以及統計學中的波茲曼分布(Boltzmann distribution)。要嚴謹地講授其中任何一個觀念,往往又需要深厚的相關學門知識,不是一時半刻、三言兩語就可以說清的。因此從高中物理學課本、乃至大一入門的普通物理學、普通化學教科書,對此通常都是草草帶過,只簡單說明「蒲朗克引入了E=hv,就神奇地解決了古典理論的瑞立京示定律預測的紫外災變,開啟了量子力學的序幕」。

幾年後,愛因斯坦(Albert Einstein, 1879~1955)大膽地將此概念應用於解釋金屬之光電效應的原理,從而確立了「光量子」的概念。直到1918年,經過愛因斯坦、波耳(Niels Bohr, 1885~1962)等人確立量子在物理學上地位,共經過十多年量子論才廣被接受。比起黑體輻射,光電效應的理論推導直截了當,大部分理科學生在學習量子力學時,多半是由此開始建立hv是為光子之基本能量貨幣單位之概念。相較之下,具有深刻歷史定位的「黑體輻射」,因為令大多數人難以具體掌握光量子在其中扮演的角色重點,就顯得「莫測高深」了。

古典和量子的差異
 蒲朗克的黑體輻射公式推導,真有這麼難說明嗎?乍看之下,瑞立京示定律和蒲朗克黑體輻射定律有一個最基本的差別,就是前者的輻射密度隨頻率增加而不斷攀升,是沒有上限的遞增函數,而後者則先隨頻率增加而上升,在某個頻率下達到最大值,繼而隨頻率增加而下降(如圖三),接著才應討論何以不同溫度會對應到不同的最強輻射頻率。即使無法在定量上解釋此曲線的數學公式是從何而來,只要能定性的說明何以古典與量子的假設會預測出完全不同的兩者曲線模式,一定就足以讓學習者對光量子有深刻的體會。

黑體輻射的問題,在於一個黑體在熱平衡下,如何將熱能分配給不同頻率的諧振盪。各個諧振盪所分配到的能量,又會以電磁輻射的形式放出而可用光譜儀分析。以下我們以一個簡單的故事情境類比,試圖說明古典和量子的能量分配方式,所呈現的黑體輻射光譜圖為何會有如此基本的差異。

把電磁波能量當作貨幣
 假設我們將不同頻率的諧振盪所分配到的能量(不同頻率之電磁波在光譜圖上之強度),想像為一個國家裡不同身高的人所分配到的財富額度。這個國家有著非常特別的人口比例,高的人遠比矮的人多,而且身高越高,人數越多,身高是沒有上限的,無論你身高多少,永遠都找得到比你更高的人(而且人數更多),是比《格列佛遊記》裡的大人國更神奇的「高人國」。高人國的人口分布是如圖六所示的拋物線狀,亦即身高為V的人數  ∝  V2,如圖四(a


其中一個遵循古典物理學理論的高人國實行的是「共產制度」,他們深知「不患窮,只患不均」的道理,因此在財富分配上主張「每人分到的錢一樣多」。那麼每個人該分多少呢?天時好(氣溫高),收成好時,大家就一起分到比較多錢;天時不好(氣溫低),收成差時,每個人就一起分到比較少錢。換句話說,每人所分到的額度和溫度T成正比,但總之同樣溫度下每個人的收入都一樣多〔註一〕,如圖四(b)。因此如果我們想知道,不同身高的人所得到的財富比例為何,就會呈現和人口比例相同的拋物線分佈,如圖四(c)。

每個人可以獲得的財富    ∝ T

身高為V的人口所擁有的總資產  ∝   V2T


圖四:遵循古典理論的財產分配方式。身高為V的人所擁有的總資產隨身高成拋物線狀無限上升。

而另一個高人國,有著同樣的身高人口比例分布,實行的卻是「資本主義」。整體來說,溫度高時,一樣是大家都可以得到較多的回饋,每人分到的額度與溫度T呈正相關。但他們認為一個人勞力付出的程度,也和身高成正比,因此身高越高的人,理當得到越多金錢回饋。

身高為V的人可以獲得的財富  ∝ V

另外,為了鼓勵生產力高的高個子留在本國,他們還提出了一個獎勵誘因,那就是每個人所能分配到的金額不但和身高成正比,而且這個比例還能「抽獎」,使其有機會整數倍放大。當然放大的倍數越高,機率也就越小,在定溫下此機率隨著總額度nHV成指數遞減的形式(如圖五)。

身高為V的人可以獲得的財富 = nHVH為常數,n=0, 1, 2, 3 ……


圖五:(左)在同樣溫度下,共產高人國每人所分配到的資產相同(每個人都拿到一包尺寸相同的錢袋)。(右)資本高人國國民身高越高,得到越多金錢回饋(錢袋的尺寸越大,而且可能拿到0或數個錢袋)。但額度越高,拿到這筆錢的機率也越小。












因此,平均而言,一個身高為V的人所能拿到的錢究竟有多少呢?「資本高人國」這個策略其實是很狡猾的,因為機率不是隨整數倍率n成指數下降,而是隨總額度nHV成指數下降(如圖六所示,n越大與V越大,機率都越小)。也就是說,身高越高,雖然有機會得到更高的報酬,但此機率也更小。同時更狡猾的是,當你決定要「賭一把」時,選項裡竟悄悄地包含了n=0(什麼都拿不到)的「籤王」,而且機率還是最大的(也就是圖六中最高的綠色數塊)!綜合以上兩個遊戲規則,身高越高,相對而言抽到n=0的機率越大,抽到n>0的機率越小,因此在定溫下最後反而平均的財富期望值越低,可說是終極的「排富條款」,如圖七(b)所示。所以最終財富的總額分配,就會呈現如圖七(c)所示,不同於先前圖四(c)的拋物線,而是隨身高先遞增再遞減的趨勢。

圖六:在同一溫度下,身高為V的人有機會獲得的財富額度(n=0, 1, 2, 3…)及獲得此額度的機率大小。







圖七:遵循量子理論的財產分配方式。身高為V的人所擁有的總資產隨身高先成長後下降。


















和物理現象相對應
在這個故事中,身高V所對應的是電磁波的頻率v,身高為V的人數對應到的是空腔內頻率為v的諧振盪的能量狀態密度(Density of States),也就是。在古典統計力學的能量均分原理中,每個諧振盪無時無刻都在與周遭交換能量,任一個瞬間所擁有的能量或許有高有低,但平均而言每個諧振盪所分配到的能量正比於溫度T。因此頻率為v的電磁波在溫度為T時的總能量密度以數學式來表示,即為,正是瑞立京示定律。而在遵循量子理論的分配法中,頻率為v的電磁波只能獲得hv整數倍之能量 但獲得之機率又會遵循波茲曼分布,隨能量增加而成指數下降,因此頻率為v的電磁波所獲得的平均能量為
此處與頻率v的關係正是如圖七(b)所示,在定溫下,頻率v越大所分配到的能量期望值越低,而溫度越高,分母的越小,也就越大。因此頻率為v的電磁波在溫度為T時的總能量密度是能量狀態密度(遞增函數)和平均能量(遞減函數)相乘而成,正是蒲朗克所推導出的黑體輻射定律。其隨頻率v先遞增至一極大值再遞減的形式,與瑞立京示定律中輻射密度隨頻率增加而無限上升的函數形式有基本的不同。


1 則留言:

Yichih Wang 提到...

文章寫得很好,可惜的是台灣的高中生,我猜,願意靜心觀看思考的學生比例,應該不到千分之一!
功利主義與急功近利,讓這個小島從此失去競爭力,學校老師加油,補習班萬惡淵藪,滾出台灣!