2015年8月4日

來自深空的交響詩—重力波

作者/林俊鈺(國研院高速網路與計算中心副研究員,協助推廣產學界的高速計算應用。研究興趣為平行計算與天文物理)

作者/游輝樟(成功大學物理系副教授,專長為數值相對論與計算天文物理)

重力,是生活中最熟悉的基本作用力,也是科學革命的起源之一。

自16世紀以來,科學家如哥白尼、布拉赫、伽利略、克卜勒等人,從天體軌道的觀測歸納出行星運動的規律與太陽系的樣貌,並且在牛頓的《自然哲學的數學原理》中精簡成三大運動定律與萬有引力定律,影響了往後約兩百年的科學思想。

1915年,愛因斯坦的廣義相對論,對強重力下的牛頓理論做了修正,並成功解釋水星軌道偏移(進動)(參考動畫)與牛頓理論所預測的差異。這每一世紀僅僅43角秒的微小偏移,代表兩個理論對時空本質截然不同的解釋。重力被重新詮釋成質量彎曲時空的結果,所造成的現象如時間延遲、光線偏折或是重力造成的頻率偏移等,已在過去一個世紀中太陽系內的各種精密實驗得到證實。我們日常生活中所依賴的全球定位系統,也利用廣義相對論進行修正,以抵銷高度約兩萬公里的衛星與地面的時間差。

何謂重力波?
廣義相對論發表的隔年,愛因斯坦發現弱重力場近似下的場方程式具有波動特性:就如同電荷的加速會輻射出電磁波,質量的加速也會輻射出重力波,並以光速傳遞重力場的能量、動量與角動量。

所謂的重力波,即是「時空曲率」以波的形式向外傳播的擾動。時空曲率是引力的來源,當光線經過質量較大的星球時,會造成光線路徑的彎曲。質量越大,所造成的曲率也越大。時空曲率也會影響長度或角度等幾何性質的變化,而長度變化比率正比於重力波的振幅。任何非對稱的質量分布變化(精確地說,是質量的四極矩變化:以橄欖球為例,沿著長軸轉動並不會產生重力波,但沿著其他軸轉動則會)都會產生重力波,例如旋轉的中子星、或其他緻密星體如黑洞的互繞與碰撞、超新星爆炸、甚至是宇宙誕生的大爆炸,都會產生如漣漪般的時空曲率波動,並傳遞至地球造成微小的長度變化。......【更多內容請閱讀科學月刊第548期】

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xm w 提到...

霍奇猜想与广义相对论量子纠缠

原文: http://www.sciencenets.com/forum.php?mod=viewthread&tid=2704

对于千禧年7个数学问题,为什么这七个问题被选中超过其它问题,更具体地,为什么霍奇猜想(Hodge猜想)被包括。 一些问题是整个研究领域的基础:
1,P与NP是计算机科学的圣杯,
2,纳维叶-斯托克斯存在性与光滑性(Navier-Stokes)是流体力学的基础,
3,Yang-Mills理论是粒子物理的基础。
其中三个与数学中的概念有关:
4, 解决黎曼猜想(Riemann假设)为更好地理解素数铺平了道路,
5,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想(Birch和Swinnerton-Dyer猜想)是关于确定是否有一个简单的方法来区分有限和无限解的多项式方程,这意味着什么,
6,而庞加莱猜想(Poincaré推测)与3d表面如何工作有关。

霍奇猜想有什么呢?
人类一直在研究形状的数学,直到一个三角形在公元前500年前第一次被毕达哥拉斯注意。 经过几代人,研究越来越复杂的形状,直到大约两千年后,各种几何形状看起来像蒸汽。 数学家已经做了所有他们可以想到的形状,并沿途提供了一切从工程到透视绘画的基础(特别是天才的达芬奇)。

然后,在1637年,一个聪明的年轻数学家哲学家笛卡尔认识到,如果你抽象一步进一步,几何实际上是与代数相同。笛卡尔做了很多思考几何线如何只是一组数字。 方程也可以产生一组数字作为它们的解。 如果这两组数字完全相同,则在一张纸上绘制的线可以被认为是与等式的解的相同的东西。这是数学中的分水岭时刻,它允许代数中开发的所有工具应用于几何。 这就是为什么你的学校数学老师对将线性图转换为方程式感到如此兴奋:任何随机线可以被认为是一个等式的解集,如y = mx + c。 任何圆是一组解决方案到(x - a)^2 +(Y - b)^2 = R^ 2。

现在,如果你想看到某条线与特定圆交叉的位置,你可以几何地绘制形状,或者只是用代数方式比较方程。 两种方法都会给出相同的答案。数学家不满足于,他们很快发现更复杂的方程,或者甚至方程组都在一起工作,可以在各种维度产生惊人的形状。

一些仍然可以被形象化的形状 - 例如方程组的解决方案映射出一个环的表面,被称为环面 。但其中许多是超出了我们可以画,只有通过代数和一个非常伸展的想象力。由于数学家现在正在处理超出我们可以想象的对象,这些“形状”通常被称为“代数循环”。 如果一个代数周期是一个不错的流畅,一般乖巧的造型,它也获得称号“总管” 。

第一:一组数学家知道,拓扑学家开始看看如果你在多面体上绘制形状会发生什么。 你可以想象你有一个环形甜甜圈,你在顶部画一个三角形。 或者五角大楼。其实,你需要两个? 如果形状可以滑动和拉伸,则三角形可以扭曲成五边形。 拓扑学家将所有可能从一个变形到另一个(没有从歧管表面扯起)的形状分组成“同源性类” - 一种广义形状。 所有通过甜甜圈的“孔”的形状将形成不同的同源性类别。
file://http://mail.163.com/js6/s?func=mbox:getmessagedata&sid=xcvnamubclrjmutcpcbbvypsevfgtcuu&mid=459:xtbbyxwghlo-375lkwaasr&part=3(卡拉比——丘岐管)

第二,一群自称为代数学家的数学家开始采用已经产生好的整理流形并添加更多方程的方程组。 这些附加方程在这些歧管内产生新的代数循环。不久之前,人们意识到拓扑学家将同源性类绘制到歧管上,代数学家将代数循环嵌入到歧管中实际上是同样的事情。 这是当几何形状首先遇到代数方程时的重复。 困难是没有人知道当歧管上的同源性分类包含至少一个也可以描述为代数循环的形状。

总而言之,歧管是可以通过一组方程描述的奇怪(可能是高维)形状。 添加额外的方程将给你更小的形状,称为代数循环,在该流形。

问题是:如果你把任何随机的可能的讨厌的形状绘制到一个歧管上,你怎么知道它是否可以被拉伸成一个不同的形状,可以被描述为一个好的代数循环?

苏格兰数学家威廉·霍奇:怎么能知道哪些类的同源性在任何给定歧管,相当于一个代数周期?
file://http://mail.163.com/js6/s?func=mbox:getmessagedata&sid=xcvnamubclrjmutcpcbbvypsevfgtcuu&mid=459:xtbbyxwghlo-375lkwaasr&part=4霍奇

一个伟大的想法。 只是他不能证明。 我们有一个小的平滑的“空间”(在每个邻域类似于欧几里德空间,但在更大的规模上,“空间”是不同的),这是由一群方程描述,使得这个空间具有均匀的维度。 然后我们获取基本的“拓扑”信息,并将其分解成更小的几何部分(由数字对标记)。
几何部分内的理性东西被称为“Hodge循环”。 每个较小的几何部分是称为代数循环的几何部分的组合。 基本上我们有一个“桩”。我们仔细看看它,看看它是由许多“切碎的木材”组成。“切碎的木材”里面有“twigs”(霍奇循环)。
霍奇猜想断言,对于成堆的切碎的木材,树枝实际上是被称为原子(代数循环)的几何部分的组合。
大家明白了没有?
1958年,英国数学家,第13次国际数学大会的主席,W.V.D.Hodge霍奇教授提出:对于射影代数簇空间,在非奇异复射影代数簇上, 任何一个霍奇类都可以表达为代数闭链类的有理线性(几何部件的)组合。 这个叫霍奇猜想的东东,用通俗的话说,就是“再好再复杂的一座宫殿,都可以由一堆积木垒成”。 用文人的话说就是: 任何一个形状的几何图形,不管它有多复杂(只要你能想得出来),它都可以用一堆简单的几何图形拼成。 二十世纪的前半叶,数学家希望得到研究复杂形状的方法。基本思想是:任何一个复杂形状都可以由一组简单的几何形状基本模块粘合形成。这是极其传统的数学方法.也是千年来欧几理得几何公理系统的原始思想。问题是在什么程度上(过程到底有多复杂),对于给定的复杂形状,我们可以通过把维数不断增加,把越来越多的简单几何基本模块粘合在一起,来形成该复杂形状。数学家希望用这种思想,用各种不同类型的方式一步一步地扩展,最终建立一组强有力的代数方程或/和几何工具,使各种复杂的对象分类成一些具体的简单的几何对象及其组合。在这种扩展过程中,几何出发点变得模糊起来——到底从那些简单几何对象组合起;组合的程序/序列又是什么。因此,必须加上一些没有任何几何解释的"非几何"基本模块。以期达到:在非奇异复射影代数簇上, 任何一个霍奇类对象都可以表示为代数闭链类的有理线性组合——这就是着名的霍奇猜想。

霍奇猜想与广义相对论量子纠缠庞加莱猜想融为一体

构造一个有无穷多个两两相连区域的空间结构,也是霍奇猜想的一个标准例子,它可以有无穷多个参数,无穷多个维度:

file://http://mail.163.com/js6/s?func=mbox:getmessagedata&sid=xcvnamubclrjmutcpcbbvypsevfgtcuu&mid=459:xtbbyxwghlo-375lkwaasr&part=5图1,上下对折再左右对折形成一个环。
图2,这个象汽车轮胎一样的环有4个区域两两相连。
图3,再把一根管子一边是区域5,一边是区域6,一头安插在与区域1和2交叉的区域,一头安插在与区域3和4交叉的区域,于是有6个区域两两相连,图4。
如法炮制,图5,用三叉管子,一边是区域7,一边是区域8,一头安插在与区域1和2交叉的区域,一头安插在与区域3和4交叉的区域,,一头安插在与区域5和6交叉的区域,于是有8个区域两两相连。
图6,用四叉管子,一边是区域9,一边是区域10,按照以上步骤,分别安插在与其他区域交叉的位置,形成了10个区域两两相连。见图7。
我们可以无限制进行下去,5叉,6叉......构造无穷多个两两相连区域。这个管道内部一个点的坐标应该如何定位?它有无穷个参数。是一个有无穷多个维度的空间。
这是霍奇猜想提出80年以来第一个构造的例子。
这个例子有什么用?

xm w 提到...

接上面:
这个例子有什么用?
我们的世界
如果您关心我们的宇宙,关心物理学就会清楚,我们的宇宙被两种理论主宰:
一个是行星绕着太阳转时,就像篮球放在床单上,当球移动时,床单就会变形,这个就是大质量物体如何扭曲时空的理论。
另外一个是量子理论,它解释了微观世界不可思议的事情,为什么光既是粒子也是波。
量子纠缠是两个粒子之间的链接,一个粒子的状态影响另外一个粒子的状态。
如果按照第一种理论,引力支配一切,这些粒子应该表现不同,就不会有量子纠缠。
上面这个问题困扰着物理学家。

Mark Van Raamsdnk的理论
加拿大英属哥伦比亚大学一位叫做Raamsdnk的物理学家,
file://http://mail.163.com/js6/s?func=mbox:getmessagedata&sid=xcvnamubclrjmutcpcbbvypsevfgtcuu&mid=459:xtbbyxwghlo-375lkwaasr&part=6
在多次投稿失败以后,最终在【广义相对论和引力学】2010年10月,发表了自己的论文【用量子纠缠建立时空】(图七),Raamsdnk整合了两大理论,认为时空不过是量子系统中物质纠缠状态的几何,叫做张量网络,宇宙建立的网络就像树枝朝不同方向生长一样,宇宙不会膨胀也不会收缩,两个粒子的链接并不存在引力,而是像虫洞一样。几何引力的空间模型就能解释量子纠缠。(不熟悉这个问题的人可以在科学网输入“MARK van Raamsdnk”就可以了解)时空就是量子系统物质纠缠状态的几何图像,称为反德西特空间。 问题是:如果宇宙象树枝一样,这棵树的任意两个区域或者两个点,如果不是两两相连,两个粒子的联系就会被堵住,也容易被阻断,可以通过试验来证实一下。

如果是两两相连的管道,当然无法阻断,Maldacena和Susskind的猜想是,如果任何两种粒子存在纠缠现象,那么它们则会有效地存在于一个虫洞内。 为什么两两相连的几何网络下量子纠缠可以存在?因为任何两个区域都是相连的,在任意两个区域的一个粒子和另外一个区域的粒子当然也是区域两两相连,只不过一个粒子是另外一个粒子的镜像而已,在A区域的粒子如果是左旋,例如左手套,右旋右手套在B区域。两个区域的两个粒子就是互为镜像,绝对不会是一样的。一个人在镜子面前就是这样的理解。多个量子纠缠就是多个区域的两两相连,例如一个人四面六方都安装了镜子,就会有六种不同的镜像。对于两两相连区域,量子纠缠就是理所当然的了,根本无需惊奇。

Maldacena和Susskind的猜想是,如果任何两种粒子存在纠缠现象,那么它们则会有效地存在于一个虫洞内。黎曼几何为爱因斯坦相对论提供了几何模型,两两相连区域理论将完善van Raamsdnk理论。物理学家是否接受?还要看是否与实际符合。