2015年8月3日

沙灘球的數學

作者/游森棚(任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校)

夏天到了。今年的夏天非常熱,想帶小孩去玩玩水,但是每個有水的遊樂場或海灘都人山人海,復以陽光毒辣,只好再議。但想像的畫面中都有跳動的沙灘球,也讓我聯想到數學定理(這是數學家的不幸),這個月的專欄就來介紹沙灘球面上的有趣數學。

奇特的球面三角形
上圖是我們常見的沙灘球。我們約定把上圖中六片匯集的頂點白色小圓當作北極,躲在背面的另一個白色小圓當作南極。這個沙灘球的球面就被三個過球心的大圓分成六片。想像一下我們一刀剖開赤道,這樣就把球面分成十二片了,每一片是一個「球面三角形」。來看看其中一個黃色三角形,這是等腰三角形。兩個底角是經線(黃白交界)與赤道的夾角,所以都是直角。而頂角是60°,因為六個相同的頂角匯集在北極為一圈。所以這個三角形的內角和是90°+ 90°+60°= 240°。

怎麼一回事?三角形的內角和不是180°嗎?這背後有大學問。這是幾何學上的一個根本結果:「球面三角形」的內角和永遠大於180°

如何證明內角和?
球面三角形就是在球面上由三條直線圍出來的區域。但首先我們要講清楚什麼叫球面上的直線。直線是通過兩點最短的線。球面上給定兩點A、B,最短距離應該要沿著通過這兩點的大圓走。......【更多內容請閱讀科學月刊第548期】

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