2015年4月2日

初等數論課堂二三事

作者/游森棚(任教臺灣師範大學數學系及空軍官校)

數 論
是一門探討整數性質的數學。「初等數論(elementary number theory)」以研究整數的性質為中心,包括整除性、不定方程、整數分布及數論函數等內容。

這學期教了一門新課, 大一的「初等數論」。數論這門課可以非常枯燥,但因為是大一學生,我不想在他們剛進入數學世界就嚇跑他們; 幾經比較之下, 我選了一本有趣的課本── 西爾弗曼(Joseph H. Silverman) 的 《數論概論》(A Friendly Introduction to Number Theory)。每一章都短短幾頁, 只講一個重要概念。我喜歡作者強調數學是一個「觀察,發現,猜想,證明」的過程。書中的習題引導學生作發現,設計頗有巧思。兩個星期下來,課堂上和學生互動讓我心有所感,寫在這裡和讀者分享。

看見從沒發現的
畢氏定理是少數大家都能記得的定理:直角三角形兩股a, b平方和等於斜邊c平方和(a2+b2=c2)。求學過程中,3, 4, 5 或5, 12, 13這兩組數字的記憶太深刻了,也正因為太熟悉,就不會有什麼期待。在黑板上,我列出許多組本原畢氏三元數(「本原」的意思是說三個數之間沒有最大公因數):
(3, 4, 5) (5, 12, 13)(8, 15, 17)(7, 24, 25)
(20, 21, 29) (9, 40, 41)(12, 35, 37)
(11, 60, 61)(28, 45, 53)(33, 56, 65)
(16, 63, 65)(336, 377, 505)。
我問,「可以看出什麼?」一陣搞笑後( 有人回答「每一組都有三個數」, 有人則說「都是白色的」), 一位同學說, 好像每一組都剛好有一個偶數──這引起了一陣騷動。不久,另一位同學說,好像每一組都剛好有一個3的倍數;再不久有位同學說,好像每一組都剛好有一個5的倍數!這引起全班學生的驚呼。畢氏定理這個從國中就做到爛的東西,竟然有性質是他們不知道的!......【更多內容請閱讀科學月刊第544期】

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