2015年3月2日

透視超能力 Get!

sin、cos、……
這些符號神秘、讓人無法看透,甚至被隱藏起來; 但神奇的是, 它們其實能讀懂你的心、你的健康,漫布在日常林林總總。

作者/舒宇宸(師大數學系畢業後,到臺大數學系攻讀碩士跟博士。目前任職成功大學數學系。喜歡研究應用數學、界面問題、快速計算法、醫學影像及訊號處理)

身為青少年,你曾經幻想能夠像超人一樣,具有透視的能力嗎?你知道這樣的能力,在現實生活中要怎麼辦到呢?假設前面有一道牆,而我們想要「看到」牆後的景象,這時就得先發射一道能夠穿牆的光;而當它碰到牆後物品後反射,再度穿牆回到我們的眼睛,這樣我們就可以透視了。可惜的是,我們人眼能見到的可見光,並沒有穿牆的能力。所以,要能夠透視的話,就只能是超人了!

總有穿牆而過的辦法
雖然無法得到透視的能力,但人類的想像力是無限的。我們還是可以透過儀器,來完成這個不可能的任務。舉例來說,X光影像就是其中一種。它可以完全穿透人的身體,在人體的另一邊接收訊號強度,而得到透視人體的結果。

讓我們用一個簡單的方式來說明。假設有個人躲在牆中,而我們用X 光從左側照射過去。如果人體會吸收X光,這時右側就會接收不到X光。若用X光的強度來成像,影像上就會呈現出那個人的形狀陰影。這是最簡單的X光影像。由於它是最簡便且最便宜的檢查方法,所以很多醫療檢查就是使用它。比如牙齒根管治療、胸腔檢查,或是身體內部的異物檢查,都會用到X光影像。不過,這些影像都只能看到穿透過去的「影子」,也就是X光較無法穿透的部分。但如果我們想要得到更進一步的資訊,該怎麼做呢?多照一張X光相片嗎?這裡會產生一個簡單的問題是:如果我們從正面照一張、側面照一張,都看到一個矩形的陰影,那麼這個物品會是長方體嗎?答案是不一定,它也很有可能是個圓柱體。那麼就每個角度都照一張呢?這樣能確認它是圓柱體還是長方體了嗎?讀者可以自己想想看。而我們能夠從每個角度的影像取得更多資訊嗎?答案當然是可以的!這些資訊就需要數學家來幫忙找出來了。以醫學中的電腦斷層影像為例,這類影像所使用到的數學,其實就是我們高中曾學過的「解聯立方程式」。假設有個方塊,是我們想用X光透視其內部的物品;此物品的內部分為四個方塊,每一塊對X光的吸收程度分別是a、b、c、d。如果從左邊照射X光過去,便可以得到兩個不同的吸收程度:a+b和c+d, 讓我們假設這兩個程度分別為10%和16%。如果從上方照光下去,則得a+c和b+d,並假設數值分別是12%和14%。那麼最後會得到四條聯立方程式:a+b=10%、c+d=16%、a+c=12%、b+d=14%。

嘿嘿!四個未知數配上四條方程式,真是天造地設的四對啊!讓我們試著把它們解出來吧!不過讀者可能會發現,其實這樣的方程式會有無限多組解。像是(a, b, c, d)=(5, 5, 7, 9)或(6, 4, 6, 10),都各是一組解。所以,如果我們要解出這個四個未知數,只需要再多增加一個角度的資訊就可以了。而醫院裡所謂的「64 切」、「128 切」的電腦斷層影像,就是用了64及128個角度來取得影像資訊的!但同時,被檢測者的身體就得被X光穿越那麼多次!

由於X光具有輻射性,除非必要,我們會儘量減少這種穿身而過的檢查。那麼,還有沒有其他具有穿透力的光呢?有的。夾在手指上進行偵測的血氧機(量測人體血液中氧濃度含量),就是利用紅外光可以透過人體皮膚的特性,得到因血紅素濃度差異,而強度不同的光訊號,以估算血液中的含氧量。

用「聲波」看透你
為了滿足讀者更多的幻想,再推出一種可以看到人體深處的超威力器── 超音波!要談超音波啊,就需要了解聲波的一項重要特性─ ─ 頻率。簡單來說,頻率就是每秒可以聽到幾個「波」。這時候,我們就得問個重要的問題:什麼是「一個波」啊?一般生活中波的形式很複雜,為了方便,我們就用最簡單的波─ ─正弦波來說明。以正弦波來說,如果它的頻率為3 Hz(赫茲,頻率的單位:次/秒),就表示一秒鐘內有三個正弦波進入了你的耳朵。

你知道電話一拿起來,就可以「聽」到頻率是440 Hz的正弦波嗎?如果你有絕對音感,就會知道那個「嘟⋯嘟⋯嘟⋯」就是音階「中央La」的頻率。人類能夠聽到的頻率範圍,大約是5~20000 Hz左右。除非你像日本漫畫《HUNTER×HUNTER 獵人》中的小傑,耳朵特別靈敏,可以聽到超出這個範圍的音波──也就是超音波。像動物中的海豚和蝙蝠,就具備聽得到超音波的能力。

大家可以用耳朵就分辨聲音是從哪邊發出來的對吧?但你想過那是為什麼嗎?因為我們的人腦也是非常特別的,只要透過同一個聲音到達兩個耳朵的時間差,就知道聲源的方向!有些神人(比如蝙蝠)甚至可以判斷聲音來自於多遠,那是另一種能在腦海中直接進行三角測量的超能力。我想讀者應該很希望能把這個能力應用在考試上頭吧(其實我也很想)!

說到音波這神物的穿透力,可是很強的!尤其是低頻的噪音,像是工地、隔壁裝修講話的聲音,都有機會能夠穿牆而過。咦?穿牆!而且聲波遇到物品也會反射!要得到透視的能力,絕對非它莫屬了。大家知道為什麼要用超音波嗎?這是有解析度上的原因的。

想像一下,我們把正弦波中的最高點當做亮點,而最低點當做暗點。音波在攝氏30度的空氣中,傳播速度約為每秒349公尺;若我們唱出一個頻率為349 Hz的波(大概是音階「中央Fa」的聲音),那麼在空氣中,你應該可以看見每一公尺有一個亮點。我們可以把這些亮點,看成這個波的監看點;如果某一個亮點沒亮,我就知道那個位置發生怪事了。

這每一公尺的亮點,也就可以想成這個音波的解析度。如果你想看得更清楚(比如到達每公分一個點),那麼你就得使用頻率為34900 Hz的超音波來監看了。

通常在人體中,音波的速度可以高達每秒1000公尺以上;醫療用的超音波,也會達到MHz(百萬赫茲)的等級。所以你大概可以猜得到,超音波的解析度是在釐米(mm)的等級。對人體來說,是相當足夠了。但想要更精細的話,行不行呢?如果我們可以用它來偵測到釐米尺寸以下的癌細胞,這樣治癒的機會不就提高了嗎?這個想法當然可行!只要我們提高超音波的頻率就可以了。不過別忘了,越高頻的超音波,穿透力就越弱,能透視的深度就會下降(附帶一提,先前提到血氧機所使用的紅外光,頻率為約1012赫茲的THz等級,只能透視人體1公釐)。況且在現代人吃得好、睡得好,心寬體胖的情況之下,想要透過超音波來看看肝好不好,還得穿過那層厚厚的油脂呢!

超音波影像
從剛剛的介紹中就能了解,超音波影像的透視方式,就是透過超音波產生器,往人體發射超音波;然後同時有個接收器,來接收人體內部所反射的回波;再透過回波的訊號,來了解人體的結構。回波訊號呈現的方式有許多種,各有不同的用途。在這裡就介紹最常見的一種:亮度模式(brightness mode, B-Mode),也就是以亮度來成像的灰階影像。

所謂「亮度」代表的意義是什麼呢?其實就是回波訊號振幅強度的對數值(是誰說生活中絕對不會用到log的),也就是它強度的等級(對聲音來說也就是大小聲)。那怎麼從起伏的波型訊號中, 得到強度呢? 我們就以下圖來說明。這是一個sin(t)+sin(1.1t)的圖形。
我們所說的強度,就是圖中紅色曲線的部分。如果會使用三角函數中的和差化積公式
,就可以得到sin(t)+sin(1.1t)=2sin(1.05t)cos(0.05t)。其中的|2cos(0.05t)|,就是圖中的紅色曲線(為什麼?從頻率就可以知道囉)。
而若不使用這個方式,則可以透過「希爾伯特轉換(Hilbert transform)」來運算。簡單來說,它對sin及cos函數的轉換,即是把sin轉換成cos,cos轉換成-sin。所以,f(t)=sin(t)+sin(1.1t)經過希爾伯特轉換後,就會變成g(t)=cos(t)+cos(1.1t); 接著再將這兩個函數的平方和(4cos2(0.05t))開根號後,就能得到紅色曲線的結果了。

我們在接收器收到的超音波回波訊號,大概會像這張圖。透過這個圖像,我們就可以判斷在時間在3秒及7秒時,有一個強的回波訊號。而經由波速的回推,就能知道在多遠的位置,會有使聲音反彈的物品。假設波速為每秒10公尺,那麼就是在30公尺及70公尺附近各有一個物品。如果我們將好幾個接收器收到的訊號組合起來,透過訊號的強度來成像,就會得到超音波的B-Mode影像了。

原來,生活中到處都有數學。不過,就像前陣子一部有名的美國動畫電影《冰雪奇緣》,配樂中的歌詞一樣,「Conceal, don’t feel, don’t let them know」──數學總在日常中被隱藏起來,讓人無法直接感受或了解它,所以才需要有人來揭開這個神秘面紗。文中留下的問號,希望可以激發讀者的好奇心,繼續尋找答案!

4 則留言:

匿名 提到...

文章用意為激發大眾對科學的興趣,用意不錯但文章寫的混亂,看的有些不知所云

舒宇宸 提到...

您好,我是作者。

感謝您的留言。是否能夠提出您對本文的建議,如寫得混亂的地方或不知所云的文句。我很樂意接受並改進。您也可以直接寄信到ycshu@mail.ncku.edu.tw並把您的意見告訴我喔。謝謝。

藍天中的月光 提到...

覺得講得還蠻清楚的!獲益良多,不過高中好像把和差化積拿掉了。請問正弦波的頻率跟音階的C~B是怎麼對應的呢?心電圖也是超音波影像嗎?謝謝囉

舒宇宸 提到...

謝謝您的建議。
1. 對現在的高中生來說,和差化積的公式需要自行從和角公式及差角公式來推導。如下:
sin(A+B)+sin(A-B)=2sin(A)cos(B)

2.而頻率與音階之間的關係可參考:
http://www.phy.mtu.edu/~suits/notefreqs.html
不過,幾乎沒有樂器的音波會正好是正弦波; 除了人造的聲音,如話筒中的聲音。

3.心電圖不是超音波影像喔,請參考:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%83%E7%94%B5%E5%9B%BE