2015年3月2日

核磁共振造影

如果你也曾躺在一臺儀器中, 全身被包圍著,此時會聽到答、答、答,為的是得知自己的健康狀況。這個聲音聽來單調, 但在數學家的心中, 它宛如一場鋼琴演奏,彈指之間,美妙卻也忙得很!

作者/陳宜良(中央大學數學系講座教授、臺大應用數學科學所兼任教授,專長為偏微分方程、計算科學、影像處理)

做過核磁共振造影(MRI)嗎?幾年前我做過。那是一臺由磁鐵、線圈所組成的儀器,可以探測人體內部的結構。探測時,我躺在一平臺上,頭部固定,被送入核磁共振儀中。偵測時聽到答答的聲音,大約是每半秒一響,持續約二十分鐘,便完成頭部的造影。所得的影像,便是一張張頭部橫截面的結構圖,醫生可以藉由這些圖,判斷腦子是否發生病變。MRI可以用在臟器、軟組織、骨骼等造影,因為沒有輻射性,在許多方面,與電腦斷層掃描具互補性,是非常重要的探測儀器。

原子核的旋轉
簡單地說,MRI是透過三種磁場──主磁場、激發磁場、梯度磁場,來操控氫原子核自旋的行為;由此產生感應電流,再由電流的訊號,反推受測者體內氫原子(人體約70%是由水組成的,氫原子即來自於水)的濃度分布。由於不同組織中氫原子濃度不同,因此這個分布就反映了組織的結構。

那什麼是原子核的「自旋」呢?根據量子力學,每一個基本粒子都有自旋(spin),就如同質量、電量一樣,這是粒子的基本性質,也用來表現粒子的角動量;而自旋具方向性,其自旋數可以是整數或半整數。如果是由基本粒子所組合成的複合粒子,那麼總自旋則是由個別粒子加總起來,取最低能階的自旋數為其自旋數。比如原子核,就是個複合粒子,當它的質子數或中子數為奇數(或兩者皆是)時,就會具有非零的自旋數,此時稱之為「核自旋(nuclear spin)」。自然界中氫–1(氕)、碳–13、磷–31等,也都具有核自旋。

我們可以把原子核想像成自轉中的陀螺,核自旋對應到陀螺轉動中的角動量;它是一個向量,方向對應到陀螺的自轉軸,大小則對應於陀螺角動量的大小。而具自旋的原子核在磁場中的行為,就像自轉的陀螺在重力場一般,會進行所謂的「旋進(precession)」。我們在玩陀螺時,剛打出的陀螺,它的自轉軸會繞著鉛垂軸轉動,這就是旋進的現象。除此之外,我們還能觀察到,自轉軸會擺到鉛垂方向,是由於摩擦力的關係,而陀螺最終會因為失去角動量而倒下。

旋進Precession
自轉物體的自轉軸繞著另一軸旋轉的現象,也稱為「進動」。常見的例子就是許多人小時候都玩過的陀螺。

剛打出去的陀螺,它的自轉軸會繞著鉛垂軸轉動,這就是旋進的現象。而在旋轉一段時間後,陀螺會因為角動量逐漸減小,導致更加明顯的旋進,最終倒下。

具核自旋的原子核會形成「磁偶極矩」,就像一個小磁鐵般,在磁場中進行旋進;其頻率為ω=γB ,稱作拉姆頻率(Larmor frequency)。Β為磁場強度,γ稱作旋磁比,不同的原子核有不同的旋磁比。氫原子核的拉姆頻率在磁場強度為1 T下,約為42 MHz,屬於無線電波的頻率範圍。

由於氫原子在生物體中含量豐富,容易偵測其旋進所產生的訊號;因此醫學用的核磁共振儀,主要就是偵測我們體內氫原子核的自旋;當核偶極矩的方向不平行於磁場時,就會像旋轉的小磁鐵般,造成空間磁通量(通過磁場時的大小度量)的變化,便可藉由感應線圈,偵測得到核旋進的訊號。

掃描的影像怎麼來?
物理學家發現氫原子核的旋進,會與無線電波頻率的外加磁場進行能量交換,這個現象稱作「核磁共振」;也就是說,原子核旋進的拉姆頻率與外加磁場頻率相同時,會產生核磁共振現象。瑞士物理學家布洛赫(Felix Bloch)對此提出一個宏觀、古典的模型,若以核磁共振儀來解釋,儀器會有一縱向(設為z軸)的主磁場B0,強度為1 T,在掃描過程中始終維持在「開」的狀態。當受測者置於此磁場中,其氫原子核自旋的拉姆頻率為ω_0=γB0 。

在宏觀的尺度下,將一個體素(voxel,數位資料在三維空間的單位,比如一毫米立方)中的磁偶極矩加總起來,便可得一向量,稱作磁化向量(magnetization),以M_0x,y,z)表示。這個磁化向量仍可視為一個磁偶極,就如同一個小磁鐵;它的方向平行於B0,大小則正比於該處氫原子核的濃度,因此它也反映了該處組織的物理特性。所以,我們的目標是偵測M_0x,y,z) ,但當M_0指向z軸時,空間中偵測不到感應電流;不過如果此時我們加入一交流式的橫向磁場B1(t):B1B_1(t)(cos(ω_0t)i-sin(ω_0t)j) 其頻率為無線電波頻,與氫原子核的旋進頻率(ω_0)相同,則受測者體內氫原子核所形成的磁化向量,除沿縱向旋進外,也會加上沿某一橫向的軸旋轉,這就是「核磁共振」。

倘若這個橫向的無線電波只打一小段時間,使得磁化向量剛好轉到水平方向;之後磁化向量就會繼續繞縱向旋進,此時我們便可透過感應線圈,測得旋進的訊號。不過這些磁化向量不會一直維持在橫向面上轉,而是逐漸地轉回z軸;原因是有核自旋與周遭環境的交互作用,以及核自旋之間的交互作用所致。這個現象就類比於陀螺旋進的過程中,由於摩擦力,自轉軸除旋進外,也會逐漸轉到鉛垂方向。

這個將磁化向量轉到橫向的過程稱作「激發(excitation)」,而磁化向量恢復到主磁場方向的過程稱作「鬆弛(relaxation)」。縱向鬆弛時間較橫向的鬆弛時間為長,而在不同介質中,鬆弛時間也不同。像是在B0為1T的情況下,脂肪的縱向及橫向鬆弛時間(0.2秒、0.085秒)都比腦中的灰質短(0.8秒、0.1秒)。

值得一提的是,在激發過程中,打入人體的無線電波能量,會在鬆弛過程中造成組織的振動,轉換成熱能;所幸這個能量非常低,而且不像X光會造成電子能量的轉換,並不具有輻射性。因此,MRI相對於透過X光來進行電腦斷層掃描,要來得安全。

如果在前述的「鬆弛」過程中,再打開縱向的「梯度磁場」,則不同位置的磁化向量,其旋進頻率會隨位置而異;並造成空間磁通量的變化,此時便可由感應線圈偵測到其總合的效應。所謂的「梯度磁場」,其數學式為G(t)=(G_x(t)x+G_y(t)y)k

我們可以重複激發、鬆弛的程序,周期約半秒;在每次的鬆弛過程中,打開不同型態的梯度磁埸,便可以操控磁化向量(M)在不同位置的旋進頻率,這個過程稱作「編碼(encoding)」。由這些編碼所得的訊號,我們可以反推空間中磁化向量強度的分布。在腦中,不同介質(骨骼、灰質、白質)的磁化強度不同,因此磁化向量強度的分布,即反映了腦中的結構。而在「激發」過程中,我們可以同時打一縱向的z梯度磁場;並設計讓激發磁場,只可以激發某一特定z截面的磁化向量。透過調整z梯度磁場,我們便能藉由激發不同z截面的磁化向量,從而得到該截面的影像。

如鋼琴演奏般的共振
核磁共振的編碼過程和鋼琴演奏十分相似,鋼琴的演奏是根據琴譜,而核磁共振的編碼,則是依據頻譜面上的掃描線。為簡單說明,我們考慮一個一維的核磁共振編碼。一次的編碼過程,就像在一臺鋼琴上,一次同時敲擊了許多琴鍵一下,而各鍵敲擊的輕重不一。

磁化向量旋轉所產生的電磁波,類比於鋼琴琴弦所發出的聲波;而磁化向量的大小M_0(x)類比於敲擊琴鍵的強度,拉姆頻率則對應到琴弦振動的頻率。由於拉姆頻率等比於磁場強度,因此在x梯度磁場下,各點的拉姆頻率是隨x線性增大,就像是琴鍵由左至右,音階逐漸升高。磁化向量轉動的鬆弛時間,則對應到琴弦被敲擊後,由發聲到靜止所需的時間。我們記錄的訊號,就如鋼琴所彈出的聲波。

比如說,當我們只彈奏鋼琴三個鍵,音感好的人可以由合音中,判斷出是哪三個音符,以及它們的強度。但倘若我們同時彈鋼琴上所有的琴鍵,理論上,我們也可以從合音中,反推各琴鍵被敲擊的強度。所以,由核磁共振一次掃描的訊號,我們也可以反推M_0(x)。

更快速造影偵測
不過,核磁共振造影的一個問題是――造影時間長。比如頭部造影需要20分鐘左右,過程中不能動。這種長時間且不能動的照影,對兒童或心臟造影會有困難,因此研發快速造影有其需要性。於是在2004年,有個新的思想――「壓縮感知(compressive sensing)」被提出。一個原來用256條掃描線的照影,透過這個新的方法,只需要22條掃描線就可還原。

許多訊號或影像如果適當的表現,其所需要的參數其實可以很少。舉例來說,若有個影像為256×256個畫素,如果我們用相鄰兩個畫素差來表現,那麼會有許多值都是0,這意味著我們感興趣的訊息其實是稀疏的。「壓縮感知」的基本思想就是:我們能否找到有效的偵測方法,透過數學的處理,直接還原這些感興趣且稀疏的訊息。透過這樣的偵測方式,當我們的影像是片斷光滑,或即便偵測有雜訊時,所選出的解仍是符合我們期待的答案。

核磁共振的編碼過程就像演奏一首交響樂。透過梯度磁場的操控,體內的氫原子核隨之起舞;由產生的電磁波訊號,就可以反推氫原子核的濃度分布,如同樂曲的聲波,耳尖的音樂家可以判斷每個位置發出的音量大小。音樂可以變化無窮,核磁共振儀的編碼也可以相當隨意,在無傷害的情況下,探索許多人體的奧秘。當然,編碼與造影,總是少不了數學。

延伸閱讀
Candes, E. J., Romberg, J. and Tao, T., Robust Uncertainty Principles: Exact Signal Reconstruction From Highly Incomplete Frequency Information, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52: 489-509, 2006.