2014年12月2日

XD的數學

作者/游森棚(任教臺灣師範大學數學系及空軍官校)

讀者一定知道大笑圖案XD,箇中深意只能意會不可言傳。以及諸多變形,超級好笑是XDDDDD,崩潰是X,DDD,DDD,DDD,或是中文翻譯「俊朗朗朗朗」。

但是XD當作算子(operator)頗為有趣。這個月的專欄我們來介紹一下XD的數學。

首先,令D代表微分算子。作用在函數f(X)是作微分,即Df = f '。另外,「X」代表乘上X。因此,「XD」表示先對f微分,結果再乘上X。即(XD)f = Xf '。

如果大笑兩次呢?我們來算XDXD:

XDXDf =(XD)(XD)f =XD(Xf ')=X(Xf ')'
= X(f ' + Xf '')(由微分規則(fg)' = f 'g + fg')
= Xf ' + X2f '' = XDf + X2D2f
=(XD + X2D2)f

也就是說,XDXD = XD+X2D2

如果你很快樂一直大笑呢?讀者試一下,可算出

XDXDXD = XD + 3X2D2 + X3D3 ,
XDXDXDXD = XD + 7X2D2 + 6X3D3+ X4D4 ,
XDXDXDXDXD = XD + 15X2D2 + 25X3D3 +
10X4D4 + X5D5

神奇的事情發生了。......【更詳細的內容,請參閱第540期科學月刊】

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