2014年12月2日

數學的諾貝爾獎

作者/李武炎(任教於淡江大學數學系)

每年十月陸續揭曉各項諾貝爾桂冠得主,這是科學界的一大盛事,《科學月刊》12月號更以專刊報導科學類獲獎人的事蹟及研究成果。數學與物理、化學及生醫同屬基礎科學,為什麼諾貝爾獎沒有數學的獎項?相傳諾貝爾不設立數學獎,是因為他要防止他所討厭的數學家米泰萊弗勒(Mittag-Leffler)得到獎項。米泰萊弗勒是19世紀末瑞典頗具聲名的數學家,聽說他奪走了諾貝爾的女朋友,引起諾貝爾不悅,所以諾貝爾故意不設數學獎。

其實這些都是無稽之談,因為諾貝爾生前與米泰萊弗勒並沒有太多交集,只有在諾貝爾晚年時米泰萊弗勒曾試圖說服諾貝爾,捐款資助瑞典斯德哥爾摩大學的研究工作,所以他們兩人之間的嫌隙只是人們茶餘飯後談論的話題而已,其實諾貝爾後來捐款設立的獎項不設數學的原因,可能是與其設立的宗旨有關。諾貝爾認為獎項是用於獎勵對人類具有重大貢獻的「發明或發現」,數學的研究是純理論的,對人類沒有很直接的利益,所以不符合諾貝爾設立獎項的初衷,加上當時已經有很有聲望的數學獎項,所以沒有必要在諾貝爾獎中再設數學獎。

菲爾茲獎
在數學界中,也有一個像諾貝爾獎那麼崇高的獎,那就是菲爾茲獎(Fields medals),菲爾茲獎正式名稱為國際傑出數學家獎(The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics),是加拿大數學家菲爾茲(J.C. Fields, 1863~1932)所創立,自1936年開始頒獎,二次大戰時中斷了十六年。1950年起每四年召開一次國際數學家會議,每次頒授二至四名有卓越貢獻而且年齡不超過40歲的數學家。菲爾茲獎被公認是年輕數學家最高的榮譽,獎金有15000元加幣,另頒一枚刻有阿基米德頭像的金質獎章。到目前為止,只有59位菲爾茲獎的得主,其中有六個東方人,日本的小平邦彥(1954年)、廣中平祐(1970年)、森重文(1990年)、越南的吳寶珠(2010 年)、伊朗的米爾札哈尼(2014 年)以及香港的丘成桐(1982 年)。

丘成桐生於廣東,長於香港,大學三年級前都是在香港受教育,他是第一位華人獲得菲爾茲獎。近年來他常遊走兩岸三地催生設立數學研究中心,也積極鼓吹培養華人數學人才。菲爾茲獎歷年的得主的國籍大多數是美、英、法、蘇俄等數學大國,這些國家也是世界的強國,由此可見,數學的發達與國力的強盛有很大的關係。因此世界上各國無不極力推動數學教育,因為這關係到國家科技的發展,只有臺灣教育當局反其道而行,近年來在數學課綱的變革中,一味想砍數學課程的上課時數,幸好有許多有識之士站出來反對,才急踩煞車,否則後果不堪設想。

菲爾茲獎歷屆的得主有許多在幼年求學時,數學的潛能就頭角崢嶸,很多人都是參加過國際奧林比克競賽的金牌選手,由於受到良好的栽培,後來都成為頂尖的數學家。值得一提的是,多位菲爾茲獎得主的指導教授也是菲爾茲獎的得主,真的是「名師出高徒」。臺灣每年也有學生參加奧林比克數學競賽,也有不錯的成績,期待臺灣未來也會有菲爾茲獎的得主。

拒絕菲爾茲獎的數學
在菲爾茲獎歷屆的得主只有一位拒絕接受,那是數學界的一名「怪咖」格利戈里.佩雷曼(Grigori Perelman)。佩雷曼出身蘇俄聖彼得堡大學,他的故事充滿傳奇,在2002年時他曾在一個網站arXiv上發表一篇文章,這是一系列文章的第一篇,這些文章似乎說明佩雷曼証明了「龐加萊猜想」。

龐加萊(Jules Henri Poincaré, 1854~1912)是法國的數學家,被公認是繼高斯(Gauss)之後對數學及其應用有全面認識的最後一人。他在1904年提出一個猜想,這是一個數學拓樸學的問題,大意是說,在一個封閉的三維空間,如果每條封閉的曲線都是收縮於一點,則這一個空間必定是一個圓球,這個猜想被稱為「龐加萊猜想」。

佩雷曼的文章就是與「龐加萊猜想」有關。arXiv是一個專門收集物理、數學、計算機與生物論文的網站,雖然有一套「認証」系統,但不像一般期刊有嚴謹的同儕審稿制度。他的文章發表後獲得數學界極大的回響,對解決「龐加萊猜想」,他所提的方案是有效可行的,佩雷曼因此被提名為2006年的菲爾茲獎得主,對一個從事數學研究工作的人,這是莫大的榮耀,但佩雷曼卻宣布不接受此獎,也是首位拒絕接受菲爾茲獎的數學家。他在1996年也曾拒絕過歐洲數學學會頒給他的「傑出數學家獎」。2010年他也被授予千禧年大獎,千禧年大獎是美國克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute)於2000年公佈的七個數學難題的獎金,每題懸賞一百萬美金給破解的解答者,「龐加萊猜想」就是其中之一,可是他也沒有接受這個獎項。佩雷曼在2005年辭去數學研究所工作就隱居起來,靠著微薄的積蓄為生,也不與外界聯絡,最近聽說轉往瑞典在一間科技公司工作。佩雷曼這種不為名也不為利的作風雖然「特立獨行」,卻是典型數學家的風範,研究數學的人是因為熱愛數學而數學,而非追求名利才去學數學。

亞倍爾獎與邵逸夫
除了菲爾茲獎外,世上還有幾個專門為數學所設的獎,這裡再介紹兩個,它們的得主就沒有年齡的限制,而且獎金都是美金一百萬,與諾貝爾獎相近,其中一個是與菲爾茲獎齊名的阿貝爾獎。阿貝爾(Niels Henri Abel, 1802~1829)是挪威的數學家,以証明五次方程式沒有根式的解而聞名,對近世代數的發展奠定不可磨滅的貢獻。他與法國的蓋羅瓦(Galois)被推崇為「抽象代數之父」,為了紀念他,代數群論中的交換環就叫做「阿貝爾群」,英文為abelian group,英文名詞中第一個字母 a 為小寫而不是大寫,表示這個專門名詞已經被普通化了,阿貝爾能擁有這種待遇,是因為要表彰他卓越的貢獻。挪威政府為了紀念阿貝爾二百周年誕辰,在2002年設立阿貝爾獎,2003年頒發第一次的獎,獲獎人是法國數學家讓.皮埃爾.塞爾(Jean-Pierre Serre),塞爾也是1954年的菲爾茲獎得主,他在數學上主要貢獻的領域是拓樸學、幾何學與數論,前幾年他曾到臺灣訪問講學,獲得臺灣數學界很大的迴響。

還有一個由香港的邵逸夫爵士於2002年所創立的「邵逸夫獎」,其中有一項也是專為數學所設的。首屆數學獎的得主為華人數學家陳省身(1911~2004),陳省身是國際著名的微分幾何專家,他也是菲爾茲獎得主丘成桐的恩師。第二屆的得主為安德魯.懷爾斯教授,懷爾斯在1995年正式發表「費馬最後定理」的証明,他已經42歲,並不符菲爾茲獎的年齡規定,所以1998年的國際數學家大會中,特別頒發他給一個國際數學聯盟特別獎,以表彰他証明「費馬最後定理」的成就。

1 則留言:

xm w 提到...

菲尔兹奖桂冠下的数学赝品
王晓明
摘要: 陶哲轩论文错误百出,就连句子都不通,标题也是错误的论断,却获得了菲尔兹奖,只能说明这个奖不够认真,这个评奖机构是一个缺乏能力机构。
关键词:素数算术级数,集合概念,普遍概念,定义过宽

前言
数学家王元谈菲尔茨奖获得者陶哲轩的工作说到:“他们得到的结果几乎是一个不能想象的伟大成就,他们证明由素数构成的等差数列可以任意长,而且有任意多组。此前,4个数的素数等差数列可以有无穷多个的猜想都还没有证明。”【科学时报】

预备知识
全世界的数学定理的主项都是普遍概念或者单独概念,世界上没有任何一个数学定理的主项是集合概念。
概念的種類:
(1),單獨概念和普遍概念
a,單獨概念,反映獨一無二的概念,單獨概念的外延只有一個。例如,上海,孫中山,,,。它們反映的概念都是獨一無二的。數學中的單獨概念有“e”“Π”。“e是超越數”就是一個單獨概念的命題。
b,普遍概念,普遍概念反映的是一個對象以上的概念,反映的是一個“類”,這個詞項的內涵由為了包含在詞項外延所必須具有的事物的性質組成。就是说,普遍概念的每一个个体必然具有这个概念的基本属性。例如:工人,無論“石油工人”,“鋼鐵工人”,還是“中國工人”,“德國工人”,它們必然地具有“工人”的基本屬性。數學中的普遍概念有例如“素數”,“合數”,等。“素數無窮多”就是一個普遍概念的命題。

(2),集合概念和非集合概念。
a,集合概念反映的是集合體,這個詞項的外延由詞項所應用的事物集合組成,例如“中國工人階級”,集合體的每一個個體不是必然具備集合體的基本屬性,例如某一個“中國工人”,不是必然具有“中國工人階級”的基本屬性。集合概念的命題是不需要證明的,也是無法證明的,只能是歸納總結。
b,非集合概念(省略)。
这是因为数学家的武器级别都是一个类,即:定理,公理都是普遍概念,只能攻击同样级别的命题主项。而“集合概念”是一群类,是一群普遍概念。就好比一个人不能打击战胜一群敌人。
陶哲轩的工作分析
陶哲轩论文标题:【存在任意多个素数算术级数】。
主项是:“素数算术级数”,谓项是“任意多个”。
一,主项错误
1,“素数算术数列”是一个集合概念。而所有的数学定理主项都是普遍概念或者单独概念。世界上没有任何一个数学定理的主项是集合概念。
我们需要说明的是:
2,素数构成的等差级数有以下内容:
1),素数构成的等差级数的“公差”有无穷多种,例如公差2(3和5),公差4(7和11),公差6(7和13),....直至无穷。
2),素数构成的等差级数“个数”有很多种,例如相差6的素数3个(7,13,19);还有4个(5,11,17,23),5个(5,11,17,23,29),....。
3, 陶哲轩要想证明集合概念的“素数算术级数”有任意长,就必须逐一证明:
公差2的素数算术级数可以多长,
公差4的素数算术级数可以多长,
公差6的素数算术级数可以多长,
...........,
公差2n的素数算术级数可以多长(n指任意大的自然数)。
4, 如果陶哲轩想说的是:“无穷多种公差的素数算术级数中,至少有一种是无穷的或者有限的”,那么,只是一个特称判断,即:“有些A是B”,就不是定理,只是一个数学事实,数学不承认数学事实。特称判断暗含了一个“假定存在”的非逻辑前提。数学证明严禁引入非逻辑前提。所有的数学定理都是“一切A是B”的全称肯定判断。
二,谓项错误
“素数算术级数”是主项,不能是集合概念,论题的主项不合法;同样,陶哲轩论题的谓项“任意长”也是不合法:
一个合理的全称肯定判断,全称判断主项“周延”,肯定判断谓项“不周延”。
陶哲轩的谓项 “任意长”显然是周延了,因为“任意”就包含了“一切”。
这是不合法(不符合逻辑)的论断,谓项不能超出主项合理承受的范围。这种逻辑错误在逻辑学中称之为“定义过宽”。