2014年9月29日

帶學生作數學發現

作者/游森棚(任教臺灣師範大學數學系及空軍官校)

今年全國科展結束後,科學教育館舉辦了一個研習營,主要用意是打鐵趁熱,讓報名的老師藉著互相討論歷屆得獎的科展作品,能夠更上一層。參與的老師有三、四十位,會場座無虛席。會中老師關心的核心問題是:

要怎麼找到好的數學題目?什麼是好結果?為什麼一個作品是好作品?

科學教育館邀請我主持,並評註一下今年作品。要講些東西總不能瞎扯,於是我大概成為今年唯一仔細讀過小學、國中、高中每一件作品的人。這些作品都已經是各縣市代表,有一定的水平,我不時在作品中看到數學發現的喜悅。

比如小學組的第一名作品,康橋中學的許睦義、黃裕鈞、何裕騰、彭惟、周方震五位小朋友考慮這個問題:給定一個圖,每個頂點一開始寫有一個1 到n 的正整數。每個步驟可以選一條邊,將這條邊的兩端點數字增加1,目的是作最少的步驟後讓所有頂點上的數字都等於P。辦得到嗎?比如,一開始的圖是

能否讓每個頂點都是4呢?可以的。如下操作三次(每次選的邊用虛線表示)。

但是一個正六邊形,頂點順時針放1、2、3、4、5、6,則不管怎麼操作都不會成功。他們大量實驗後觀察到:不管這個圖長怎樣,假設有n個頂點。頂點上的一開始標的數總和為S,若要操作M 次才能達到目的,最後頂點上每個數字是P,則必有S+2M=nP。

圖例中,S = 10,操作了M = 3 次,最終每個數是P = 4,有S + 2M = 4P = 16。反之,S、M、P 如果不可能滿足這個關係,就一定無解。比如六邊形的例子,S = 21,不論M、P 是多少,21 + 2M = 6P 是不可能的,因為左邊是奇數、右邊是偶數。

用算兩次原理容易解釋上式。但是小學生能夠在實驗中找到了複雜系統之中隱含的一致性規則,體現了數學研究實驗探索,化繁為簡的精神,是值得鼓勵的。我相信學生發現這個判別法時,一定很興奮。......【更詳細的內容,請參閱第538期科學月刊】

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