2014年4月30日

由多項式轉入微分課程之芻議

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

湯普森(Silvanus Thompson)在他出版於1910年的微積分教科書上說:「有些微積分技巧相當簡單,有些超級困難。那些寫高等數學教科書的傢伙,很少費功夫跟你說明那些簡單的部份有多簡單。」

大家都默認微積分的「高深」,長年以來不曾考慮將它放進高中數學課程。然而,它困難的那一部份,是不是在19世紀嚴格化之後才發生的?而微積分的學習門檻,是不是嚴格化的極限觀念?如果這一套從20世紀傳到今天的由極限切入微積分的課程「傳統」是必須的,那麼18世紀以前的人們難道都沒學會微積分嗎?

這篇文章想建議一套可以實施在高中一年級的多項式微分課程,它搭配著多項式的學習而進,不但發展微分的觀念並讓學生提早掌握(多項式)微分的威力,並使得多項式本身的學習充滿動機與活力,還為數學的極限觀念與物理的自由落體課題奠定了基礎。

我為這套課程編寫了4節課的教案,並且在麗山高中(僅前2節)、育達高中、武陵高中、和中壢高中對一年級的學生試教過。因為我對學生的反應有第一手的經驗,並獲得其成效的信心,所以才寫在這裡就教於更廣泛的讀者。

假設多項式課程還是沿著99課綱的脈絡而展開,先學習單項函數f(x) = axn 的圖形特徵與係數a 和次數n 的關連,其中n 以1, 2, 3, 4 為主,並討論奇偶性。然後講到n 次多項式函數,在數值上認識,當∣ x ∣ >>1,f(x) ≈anxn,而表現在圖形上,就是多項式函數的圖形,宏觀而言就像其首項函數;這就是降冪排列的一個意義。

然後,複習多項式除法以及除法原理,但不必過多,很快就聚焦在除式為xa 的情況,而發展綜合除法。由餘式定理發現綜合除法也是求多項式函數值的快速算法。接著就講綜合除法的另一個應用:連續使用綜合除法,若得到的餘數依序為c0c1、…、cn - 1,則f(x)= c0c1(xa) + c2(xa) 2 +…cn(xa)n 稱為f(x) 的(升冪)泰勒形式,其中cnanc0f(a)。然後帶學生認識泰勒形式的典型用途:當xa,估計f(x) 的值。由計算而認識:泰勒形式意在估計,越高次項越不重要;這就是升冪排列的一個意義。

以上兩段都還是傳統的高中數學課程。從這裡可以轉入微分了。從計算估計值的經驗得知:當xa,函數值f(x) ≈ f(a) + c1(x - a);既然如此,兩者的函數圖形也將非常近似。而yf(a) + c1(x a) 與函數f 通過同一點(af(a)),是一條斜率為c1 的直線。用電腦繪圖,動態展現f(x) 在a 附近之局部圖形,學生都能觀察出來局部圖形「像」一條直線的事實。在「看起來最彎」的地方(發生極值的點附近)的效果最具有戲劇性:它不但像一條直線,而且是一條水平線。我們定義yc1(xa) +f(a) 是f(x) 在a 的切線,並仿照其c0 的意義,將c1 記作f ’(a),讀作f prime of a,稱為f a導數。......【更詳細的內容,請參閱第533期科學月刊】

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