2014年4月30日

「寓數於玩」—玩具中的數學

作者/李武炎(任教淡江大學數學系)

數學推盤是一種有趣的益智玩具,我們能藉以探討數學中的群論謎題。

學齡中的兒童大概都玩過一些跟數學有關的玩具,這些數學玩具大部分都與計數有關,主要是訓練小朋友的計算能力或者是認識時間的數學概念,等到年紀稍長,所玩的數學玩具就比較進階,其中最流行也比較引人入勝的益智玩具就數「魔術方塊」(Rubik’s Cube)莫屬了。「魔術方塊」的數學原理是應用到一些抽象代數的東西,也跟離散數學與一些機率概念有關,在很多科普刊物中有人曾以專文介紹過,本文就不再贅述,不過我想提一個與「魔術方塊」有異曲同工的玩具,它也是與數學中的「群論」有關的益智謎題。

在一百多年之前有一個數學謎題專家——羅德(Samuel Loyd)引進一個謎題玩具叫做「15– 謎題」(15-Puzzle);這個玩具又叫數學推盤遊戲,它是由一塊有凹槽的板和寫有數字的方塊所組成十五個數字,推盤的板上含有十五個方塊牌和一個大小相當於一個方塊牌的空位(供方塊移動),玩的人要移動板上的方塊牌,讓所有的方塊順著某一個數字的次序排列。

例如圖一是一個4×4 的數學推盤,上面有十五個方塊牌分別標上號碼1、2、3、……、15,還有一個位於右下角的空位。你可以將號碼牌滑到空位,比如說你可以將12 號牌推下或將15 號牌推向右,繼續不斷的滑動號碼牌你就可以產生不同的排列方式。在公元1870 年時,羅德提供了這個遊戲並尋求解法,將14 與15 號牌加以對調但不改變其他號碼牌原來的位置,當時他還懸賞美金1000 元作為獎賞,頒給能提出成功的解法的玩家,當時曾經瘋迷了整個美國。
圖一:15- 謎題∕數學推盤遊戲。

這個謎題的原理其實是與數學裡的「排列群」有關,為了容易讓普羅大眾容易瞭解其中的道理,我將簡化「15– 謎題」為「5– 謎題」的推盤,也就是2×3 的欄柵;其中有兩列三行,如圖二上面依序有標著1、2、3、4、5 的號碼牌,加上一個空位在右下角,同樣的規則是將號碼牌滑動至空位,同樣地我們能否在經過有限次的滑動後,最後產生圖三的形式。
圖二 → 圖三

與原來的圖二形式比較,只有原來的4 號牌與5 號牌對調,其他1、2、3 號牌保持原來排列的位置不動。為了回答這個問題,我們得先瞭解其中的數學含意。

假使你從圖二開始將3 號牌向下滑動到空白格然後將2 號牌向右滑動,緊接著滑動5 號牌向上,最後將3 號牌向左滑動如圖四。
圖四

如果把最開始的形式視為12345,則最後的形式可視為一個動新的排列15243,2跑到原來3 的位置,3 跑到原來5 的位置,而5 佔住原來2 的位置,這個新的排列在數學上也可以看成一個函數ƒAA,其中A ={1, 2, 3, 4, 5} 而且ƒ(1) = 1, ƒ(2) = 3, ƒ(3) = 5, ƒ(4) = 4, ƒ(5) = 2, ;函數ƒ 有時也用下面的方式表示。

ƒ 是一個一對一且映成函數,像這樣一對一且映成函數一共有5! = 120 個,為了方便起見,我們要引進一個新的符號來記函數ƒ;因為ƒ(2) = 3, ƒ(3) = 5, ƒ(5) = 2;所以2、3、5 三個數形成一個循環,即ƒ將2 映到3,再將3 映到5,最後將5 映回2 ,而ƒ 將1 與4 保持不動,我們就將ƒ 記為(235) 並規定(352) 與(523) 是與(235) 一樣。......【更詳細的內容,請參閱第533期科學月刊】

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