2014年4月30日

珠璣科學之串珠萬花環

作者/金必耀(任教臺灣大學化學系)、左家靜(任職國家高速網路與計算中心)

萬花環是由偶數個四面體以對位稜邊相連的環形結構,這種結構具特殊的變化特性,可由內至外、由外至內自由轉動。本文介紹一種以長管串珠製作萬花環的簡易方法。

串珠是一種傳統藝術與工藝的形式,其基本步驟是將尼龍線反覆地穿過含有孔洞的珠子,常用來製作各種珠寶、裝飾品、吊飾品、雕塑等二維或是三維結構。在2012 年,本文作者曾在《科學月刊》寫過「珠璣科學」系列文章,簡介有關串珠在分子模型的製作與應用,我們談到正多面體、碳六十、碳七十、碳八十等芙類分子的串珠模型,並且用烷類分子來解釋串珠模型與化學鍵價球模型的關連。當然,除了芙類分子與簡單的烷類分子之外,串珠還可以應用到具有各種特殊拓樸構造的單層石墨,以及各種晶體的三度空間結構的模型建構上,詳細的應用可以參考筆者的網頁 http://thebeadedmolecules.blogspot.com/。

本文將離開分子等微觀的奈米世界,介紹串珠模型在數學玩具的一個有趣的應用,我們將使用長管串珠,製作一種稱為「萬花環」的數學玩具。萬花環是一種由偶數個四面體所組成的環形甜甜圈結構,其中的每一個四面體用相反位置、彼此垂直的兩個稜邊分別與前後兩個四面體相連。這種數學玩具由斯托克(R. M. Stalker)在1935 年所發明(圖一),很快地就在趣味數學(recreation mathematics)的愛好者中流傳起來,不少人也對萬花環做過詳細的幾何與對稱分析。萬花環有趣的地方是你可以將環的內側連續不斷地扭轉到外側,讀者也可在網際網路的許多地方找到萬花環的動態模擬。注視著環的上面,四面體的四個面就不斷地會被轉到你的眼前,若面上同時繪有圖案,更讓人會有如萬花筒一般地目不暇給的感覺,因此設計師華萊士.沃克(Wallace Walker)將這種結構稱為萬花環,英文為Kaleidocycle,由三個希臘字源所組成:kálos(美麗的)、eîdos(形狀)、kyklos(環)。另外沃克與數學家多麗絲.沙特施奈德(Doris Schattschneider)一起著有M.C. Escher Kaleidocycles 一書,將荷蘭藝術家艾雪(M.C. Escher)的版畫圖案與萬花環結合,產生驚人的視覺效果。
圖一: 發明家斯托克在1935 年的專利「Advertising medium or toy」
(US Patent 1,997,022),此萬花環含有六個等腰四面體,上三圖是從三個不同
角度的透視圖,下圖是此萬花環的平面展開圖,圖中組成的三角形是等腰三
角形,所做出來的四面體為等腰四面體。

動手製作萬花環
通常製作萬花環的方式以稍硬紙張為主,先在一張紙上畫出如圖一中所示,由三角形組成的平面圖,繪製上自己喜愛的圖案,將其剪下,然後再以適當方式摺出六個等腰四面體,然後用膠水連結起來,便可得到一個由六個四面體所組成的萬花環。

一個由N個正四面體所組成的萬花環,其中的N 必須是偶數,才能結成一個可平躺在平面上的環,每個四面體與相鄰的四面體共用一個稜邊,所以共有2N 個頂點、5N 個邊,與4N 個三角形面。萬花環上的所有頂點與三角面是全等的,但是稜邊可分成兩類,連接兩四面體的邊共有N 個(A類),而其它完全屬於某一個四面體的邊則有4N 個(B 類)。本文將專注在由正四面體所連成的萬花環,在這種情形,N 必須大於或是等於6 才能連成一個環。在N = 8 或是更大的情形,萬花環才可以連續地從裡面轉到外面,重複不斷。而在N= 6 的情形,正四面體只能在一定角度範圍內轉動,一直到相鄰兩個四面體相碰為止。如果將正四面體中的正三角形變成適當的等腰三角形,而且讓等腰三角形的腰底比滿足一定比值(如圖一所示的情形),也是可以讓萬花環能自由旋轉,而且相鄰的四面體在水平時,正好彼此相切。

除了紙張,我們也可以利用長管串珠,簡稱管珠,輕易地製作出由多個四面體,以稜邊相互連結而成的萬花環,這種串珠萬花環巧妙地利用四面體管珠骨架結構本身的堅硬度,與相鄰兩個四面體的兩面角可自由旋轉的特性,製作出來的串珠模型具有精巧、優美與耐用等好處。由於網路上已經有大量有關於萬花環的製作,以及這種動態幾何結構的數學分析,讀者可用谷歌搜尋引擎輕易找到,本文將僅著重於利用長管串珠製作這種玩具的程序,省略關於這種萬花環的幾何分析與長管串珠模型結構力學的討論。......【更詳細的內容,請參閱第533期科學月刊】

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