2014年3月4日

數理之道 五門開解

作者/任慶運(任教於東吳大學物理學系)

近年來教育的巨大變革,對教育品質造成許多嚴重的影響。測驗題的考題形態,使學生習於從給定的少數選項挑選答案的作答方式,長年以來,閱讀書本與紙筆演算的習慣普遍喪失,系統思考與縝密推理的能力也大幅衰退。理科學生考上大學之後,普遍的現象是沒有觀念。但是所謂「觀念」卻是抽象的觀念。本文說明學習數理建立「觀念」的五個面向:一、圖像直觀,二、專有名詞,三、定義表述,四、特殊記號,五、演算公式。

對理科學生而言,向量概念兼具圖像直觀與抽象架構,以下主要以向量及其內積與外積為例,具體敘述開解數理之道的這五個門徑。現在普遍使用的向量記號主要是由美國物理學家吉布斯(Josiah Willard Gibbs)創造提倡;他本人因為專心致力於撰寫經典之作《統計力學之基礎原理》(Elementary Principles in Statistical Mechanics, 1902),關於向量的著作就由威爾森(E. B. Wilson)依其講稿,編成《向量分析》(Vector Analysis, 1901)。

比吉布斯的向量稍早已經有罕米吞(Sir William Rowan Hamilton)大力提倡的四元數(quaternion),但是現在遠不如向量普遍,歸根究柢,恐怕是因為四元數主要由代數結構推廣而來,其圖像直觀比不上向量明晰易懂。可見圖像直觀之重要,不僅易於學習,更影響到理論的發展。

吉布斯的《向量分析》開宗明義就舉力與速度為例,其量之有大小與溫度、質量、密度等並無二致,差別就在於具有方向。這種兼具方向與大小之量特稱之為「向量」(vector),其定義表述為:「向量兼具方向與量值。」(A vector is a quantity which is considered as possessing direction as well as magnitude.)。在此436頁的經典之作的第一頁裡,就依次闡述向量的圖像直觀、專有名詞、定義表述這三個門徑。因為兼具方向與大小是向量最重要的圖像直觀,因此又用了兩頁三節的篇幅詳述向量的圖像表示。

有鑑於有方向的向量與無方向的純量的重要差別,吉布斯就在第四節明白昭示其印刷字體須有區別。這就是本文所謂「特殊記號」。吉布斯當時所選用是牛津大學印刷所(Clarendon Press)特有而現已罕見的「黑長體」(Clarendon type),目前通用的字體是粗體(boldface type)。例如重力加速度是向量,以 g 表示,而其量值為純量(scalar),以 g 表示。

印刷時用粗體表示向量固然醒目易於辨識,但是不便於書寫,因此書寫方式須另外設法。費因曼(R. P. Feynam)在他的《物理講座》第二冊第二章列出五種向量記號書寫體。.....【更詳細的內容,請參閱第531期科學月刊】

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