2013年12月5日

峨嵋劍對武當拳

作者/任慶運(任教東吳大學物理學系)

話說武當山下開了一家「武當拳補習班」,求學者眾,生意興隆。某日老師宣佈要考試,於是全班摩拳擦掌努力練習。考試當天師徒過招,學生對老師出的一拳,依照所學也以一招武當拳回應,老師忽出一式峨嵋劍,霎時之間,血濺當場。至於後事如何,不知如何分解。

這種在武俠世界都匪夷所思的場景,在我們的中學數理教育,卻是司空見慣,以兩個例子為證。

第一例出自三民書局96 年8 月初版一刷的《普通高級中學數學(三)》。這一冊課本的中心課題是向量,第二章第3.5 節的標題是「空間向量的內積」。這一節的例題10 在 110 頁至111頁,題目及解答全文徵引如下。

設x,y,z 為實數,且x2 + y2 + z2 = 36,試求2x - 3y + 6z 的最大值與最小值,並求此時的x,y,z 之值。

解:
依柯西不等式得
        (2x - 3y + 6z)2 ≤ [22 + ( - 3)2 + 62](x2 + y2 + z2 ),

即(2x - 3y + 6z)2 ≤ 49 × 36,則- 42 ≤ 2x - 3y + 6z ≤ 42,而等號成立的條件為(x, y, z) =k(2, - 3, 6),k 為非零實數,此時

             x = 2k,y =- 3k,z = 6k,

則(2k)2 + ( - 3k)2 + (6k)2 = 36,整理得49 k2 = 36,解得k = ±6/7 。
當k = 6/7 時,x = 12/7,y =- 18/7,z = 36/7,此時2x - 3y + 6z 有最大值42。
當k =- 6/7 時,x =- 12/7,y = 18/7,z =- 36/7,此時2x - 3y + 6z 有最小值- 42。

為了以下引述方便,這個解法稱為「數解一」。

第二例是物理問題,隨處可見,故不徵引出處。通常課本及參考書的敘述是:兩個不同質量m1、m2 的方塊並排,對m1 施力而推及m2 一起運動,求兩方塊之間的作用力。為了不用繪圖而便於敘述與想像,我把問題修改如下。

故障的一節餐車m1 與另一節車廂m2 聯結,用一個拖車拖曳餐車,聯結另一節車廂回廠維修。若拖車所施的力為F,求兩節車之間的作用力。 ..........【更詳細的內容,請參閱第528期科學月刊】

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