2013年12月5日

算兩次

作者/游森棚(任教台灣師範大學數學系)

微積分之中有個富比尼(Fubini)原理:若f (x, y) 在長方形區域R:a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d 中連續,則

這定理直觀上很容易說明,就是說,要算一大塊蘿蔔糕的體積,可以直的切成長條,全加來,或是橫著切成長條,全加起來。

很多連續的定理都有離散的形式。Fubini原理的離散形式就是

就是說,要算m × n 矩陣中的元素和,可以每個橫排算完後再全部相加,或是每個直行算完後再全部相加。

簡單說,就是用兩個方式去算同一個量,因此「Fubini 原理」又有一個生動的說法稱為「算兩次原理」。更抽象一點說,離散的Fubini 定理就是:

用兩個方法算同一個量,結果會一樣。

這貌似廢話一句——但是它的確非常有意思。底下舉三個中學數學裡有趣的例子。

無言的證明

高中數學歸納法一定會有一題例題:
證明1 + 3 + 5 +……+ (2n - 1) = n2

忘掉數學歸納法吧!我們現在用兩個方法來算下列n × n 點陣的點數。第一個方法,長寬各n,當然一共有n × n = n2個點。第二個方法,從左上角慢慢挖掉愈來愈大的正方形,得到1 + 3 + 5 +……+ (2n - 1)。
因此由Fubini 原理,1 + 3 + 5 +……+(2n - 1) = n2

我個人一直覺得除了數學歸納法以外,這個證明也應該要教給學生——因為數學歸納法牽涉到形式操作和邏輯論證,而用Fubini定理的證明牽涉到美感以及直覺。這是數學的兩個不同面向,不可偏廢。而能讓學生體會美感和直覺的例題很少,這正是一個好機會。我相信讀者應該非常順利可以看出來底下要怎麼辦:

1 + 2 + 3 +……+ (n - 1) + n + (n -1) +……+ 3 + 2 + 1 = n2

美國數學學會(MAA)曾經出版了兩本無言的證明(Proofs without Words I, II),裡面有數以百計的初等數學等式或不等式的證明。其中有一些就用到Fubini 原理,有些想法相當巧妙。比如,讀者能否挑戰一下證明
【更詳細的內容,請參閱第528期科學月刊】

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