2013年10月2日

尋找聖杯的祭司—哥德爾

作者/李中志(任教美國伊利諾州立大學電腦科學系)

傳說中耶穌最後晚餐飲酒的「聖杯」是否存在,沒人知道,但它卻成為神學家、考古學家、文學家,甚至好萊塢電影製作人日思夜想的題材。它是腦子想像出來的現實,就像數學的1加1 等於2,每個人都同意它的存在是那麼的合理,但一般人大概不會花力氣進一步去想1 加1為什麼等於2,就像一般人不會以尋找聖杯為職志。但數學界一直存在一群頑固的聖杯尋找者,他們窮其一生,只為手握「聖杯」。他們不是數學界的主流,但他們像廟堂上最高的祭司,辨別每個人信仰的真偽,他們十分驕傲,也十分孤獨。

這些數學的祭司們不在乎實用,那是凡人追求的附加價值,而純粹的數學世界只是一個抽象但絕對嚴謹的演繹系統。這個系統始於一套建構合法敘述的語法,加上若干不互相牴觸的基本公理,以演繹的方式來證明其系統內合法敘述的真偽。如果這麼一個系統內的每一個合法敘述,都能以此方式來辨別真偽,則我們說這個系統是「完備」的;反之,若這個系統存在些合法敘述,但我們無法以此方式來辨別真偽,則我們就說這個系統是「不完備」的。

除此之外,我們也希望這個演繹系統不可過於侷限,因為過於侷限的系統很容易自我滿足,達到完備的要求。在數學上,我們希望一個演繹系統至少要「廣泛」到足夠描述簡單的數學四則運算,才算有數學上的意義。當然,一個合理的演繹系統要排除互相矛盾的悖論,也就是說,任何一個敘述不能同時被證明為真或偽。這種不互相矛盾的系統,我們稱之為「相容」的系統。一個不相容的演繹系統,可以把所有合法敘述證明為真,例如1 +1 = 3,因此一個不相容的系統是沒有任何討論的意義的。

許多的古文明和我們現代人直覺的看法一樣,認為數學的演繹是純理性的最高表現。既然如此,以上「廣泛」、「相容」、傳「完備」的要求其實相當合理,並不苛刻。始自古希臘文明,幾千年來的哲學家所追求的終極夢想,就是要打造一個「廣泛」且「完備」的演繹系統來涵蓋一切理性,讓我們在理性的安全世界裡,對真理不再懷疑。這個願望其實是人類文明對所謂的「計算」的期待,也因此給出了「計算」的原始定義。但從亞里斯多德以降,進展遲緩,邏輯學家連相當侷限的一階邏輯是否完備也猶豫不決,無法證明。

直到上世紀初,誕生了一位史上最偉大的邏輯學家,克特‧ 哥德爾(Kurt Gödel),才讓世人大夢初醒,回到難堪的現實,理性注定要永遠殘缺。哥德爾一方面證明了一階邏輯的完備性,讓邏輯學家鬆了一口氣;但另一方面卻又同時證明了任何一個相容的演繹系統,如果它夠「廣泛」,可以用來描述基本的數學四則運算,那麼這個系統必定是不完備的。前者簡稱為「完備定律」,告訴我們邏輯的運用是可以信賴的;而後者就是震古鑠今的「不完備定律」,它宣告了幾千年以來理性主義者的終極願望:創造一個嚴謹的計算模型來解決一切紛爭,只是一個永不可能實現的夢想。

以上這兩個理論都是哥德爾不到30 歲時,用充滿了他自己的哥德爾氏風格,以極嚴謹但優美如巴哈音樂的數學旋律,在維也納的咖啡廳裡,一步一步把一群年輕學者帶到數學世界最深邃的幽谷。這群年輕學者有數學家、物理學家、哲學家、藝術家與詩人。後來因納粹的崛起與戰爭的緣故散居世界各地,但他們短暫在維也納咖啡廳交會時所激盪出來的火花,成為主宰20 世紀思潮的「維也納學派」,以「邏輯實證主義」為其一切論述的中心思想,其影響力至今不衰。哥德爾本身並不是實證主義的信徒,但他的「不完備定律」卻讓實證主義哲學起了根本的變化。「不完備定律」在哲學上所造成的衝擊,是遠遠超過純數學家所能想像的。

哥德爾光是證明這兩個理論的其中任何一個,便足以使他永垂不朽;但畢其一生,哥德爾最關心的卻是另一個問題:有沒有一個大小介於自然數與實數之間的集合存在?如果不存在,那麼依大小排序,自然數與實數便是兩個連續緊鄰的集合,這個假設在數學上稱為「連續統假設」(continuum hypothesis)。

「連續統假設」是由集合論的創始人喬治•康托爾(George Cantor)於19 世紀下半葉首度提出。看似簡單,但尋找這個假設的證明可是數學難題中的難題,也被視為尋找數學界的「聖杯」。康托爾本人為了這個問題如癡如狂,幾乎斷送了他的學術生涯,但最後仍不得其解,在精神病院抱憾以終。後來我們知道「連續統假設」無法以既有的任何數學系統證明,也就是說,不管這個假設是真是偽,都不會破壞目前數學系統的相容性〔註一〕。哥德爾很早就得到「連續統假設不可證」這個證明的一半,但另一半卻隔了超過20 年,才由一個年輕的數學家完成〔註二〕。【更詳細的內容,請參閱第526期科學月刊】

註一:本文所指的數學系統是指以集合論公理所建立的系統,即下文所稱的「公理集合論」,或以創立、研究此公理的兩位邏輯學家之名,稱為Zermelo–Fraenkel Set Theory。它還可區分為包括與不包括選擇公理(Axiom of Choice)。這個系統一般被認為是最基本、最嚴謹與最完整的數學系統。視公理集合論為數學之本有不少爭論,但這已超出本文討論的範圍了。
註二:所謂一半是指1940年哥德爾證明「連續統假設」與集合論公理是相容的;而另一半則是科恩在1963 與1964 年分別以兩篇論文證明「連續統假設」的反假設也與集合論公理是相容的。兩人的結果加起來,我們便得到「連續統假設」無法在集合論的系統裡得到證明的結論。要特別注意的是,這個結論有一個重要假設,那就是集合論公理本身是相容的。但根據哥德爾的「第二不完備定律」,集合論公理本身的相容性是不可證的。

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