2013年10月2日

abc猜想

作者/游森棚(任教台灣師範大學數學系)

兩個月前的專欄介紹了孿生質數猜想(Twin primes conjecture)的大進展,謝謝幾個讀者私下來信的鼓勵。的確,若能體會關鍵環節所在,欣賞數學會有更多的樂趣。將複雜深刻的數學用淺顯的方式說明是不太容易的,這也是這個專欄盡量努力的目標。

有位高中同學在信中問及,「數學還有哪些猜想,能不能全盤介紹?」

這樣說吧,數學的未解問題太多了。每一個未解問題如果有個觀察,預期會正確但是還沒辦法證明,都可以叫做猜想——所以任何人都可以提出猜想。這樣說來猜想可以無窮無盡啊,所以「全盤介紹」是不可能的。

但是,有名的猜想之所以有名氣,除了敘述和藹可親、淺顯易懂的有趣層面之外,多半有理論上的重要性,或歷史背景。這個月我們來講一個最近「似乎有大進展」的重要猜想。講「似乎有大進展」是非常不精確的,但也真是如此,繼續讀下去自然就知道為什麼這樣說。

這個專欄的讀者應該都知道費馬大定理:當n ≧ 3 時,xn + yn = zn 沒有正整數解(x, y, z)。但是我猜,並不是有太多人知道費馬最後定理可以由一個更廣泛的猜想推得。這個更廣泛的猜想就是abc 猜想。

abc 猜想主要是討論a, b, a + b 這三個數的質因數之間的關係。【更詳細的內容,請參閱第526期科學月刊】