2013年9月4日

渾沌了五十年

作者/曾耀寰(任職中研院天文所)

「南海之帝為倏,北海之帝為忽,中央之帝為渾沌」,這是《莊子‧應帝王》裡頭提到的渾沌,在距今五十年(1963)的美國,一位麻省理工的氣象專家勞倫茲(Edward Lorenz)發表了一篇論文,重新開啟了渾沌學的大門。

無秩序的渾沌
Chaos即渾沌,是「有秩序」的反義詞,是混亂的,常用來描述宇宙尚未形成之前的狀態:虛空、無形、無狀,沒有一定的模式(pattern),可說是一片混亂,有如盤古開天的神話:「天地渾沌如雞子,盤古生其中,萬八千歲,天地開辟」。在莊子寓言裡頭,渾沌是個倒楣鬼,待倏和忽不錯,結果得到的回報是被鑿了七竅而亡。倏忽也有時間很快之意,莊子的寓言可以表示:宇宙剛開始是像渾沌一樣,倏忽之際,變成有秩序。其他民族也有類似的說法,例如在美索不達米亞地區的創世紀神話,有一稱為提雅馬特(Tiamat)的渾沌怪獸,在一場神明之間的戰鬥中,提雅馬特戰死,屍體成了大地,宇宙(cosmos)就此誕生。

因此,Chaos 和Cosmos 是對立的概念,一個是渾沌、沒有秩序,而宇宙則是有秩序的,宇宙的誕生是從沒有次序的渾沌,倏忽間,成了有秩序。

三體問題開啟渾沌大門
1885年,瑞典數學家馬格耐斯(Magnus Gustaf Mittag-Leffler)為了慶祝瑞典與挪威國王奧斯卡二世的60 歲壽誕,特別舉辦一場數學競賽,看看有誰能解決太陽系星體動力學的問題,是否有數學上的解析解。最後競賽的榮耀給了來自法國的35 歲數學家彭加萊(Henri Poincare)。

所謂動力學的解析解,是能夠在任意給定物體的初始位置和速度的情形下,寫出位置隨時間變化的數學函數,藉此得知任意時間的位置。我們從最簡單的二體問題說起,兩個物體相互受到萬有引力的吸引而運動,就像地球繞著太陽一樣,根據牛頓的第二運動定律(F= ma),有質量、作用力,便可以知道下一個時間的位置。這個二階微分方程看似簡單,但由於萬有引力是和兩物體之間的距離平方成反比,是一個非線性的形式,並不容易得到解析解。但牛頓在數學上做了變數變換,將距離r 改成u = 1 / r,並且將求解位置換成求解角度,使得原先非線性的問題轉換成線性的問題,因此有了解析解。

但從牛頓之後的一百多年,物理學家和數學家都沒辦法找到三體問題的解析解。彭加萊看待這個問題的策略是從代數形式(微分方程)的觀點轉到幾何的觀點,企圖證明三體的運動是穩定的。彭加萊創造一個稱為狀態空間(state space 或phase space)的工具,通常我們用位置和時間圖表示物體隨時間的位置變化,彭加萊圖則是位置和速度圖,若系統的動力行為是穩定的,則在狀態空間內是規則的軌跡,或趨於一點(如圖一)。
圖一:簡單的單擺實驗,此系統的狀態空間是由位置和速度所構成,在沒有摩擦力且擺幅小的情況,狀態空間內的軌跡如左下圖,是呈現圓形。若系統內有摩擦力,則可以看到軌跡是螺旋狀向中心移動,表示單擺因摩擦力越擺越慢,擺幅則是越擺越小。

彭加萊雖然沒有求得解析解,但因為證明三體運動是穩定的,而贏得競賽獎金2500瑞典克朗,但戲劇性悲劇發生,彭加萊在該論文出版前發現當中的錯誤,他花了3585 瑞典克朗重新印刷更正,也因為這個錯誤,彭加萊發現三體問題當中的複雜現象,三體運動在狀態空間中沒有簡單而規則的軌跡,進而開啟了一門新科學。【更詳細的內容,請參閱第525期科學月刊】

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