2013年8月2日

數獨的另類玩法!

作者/李祐宗(任教澎湖縣湖西國中)

數獨是時下老少咸宜的一種數學休閒娛樂,夯的程度甚至連市售的飲料包都可見其蹤影。可是魔方陣也毫不遜色,早期魔方陣可是眾多數學家討論與研究的話題之一。綜觀當下的魔方陣,最常被討論的有三階與四階的魔方陣,因為五階的魔方陣高達二億多種,至今仍無特定的公式可計算出五階魔方陣的個數。

數獨的始祖是拉丁方陣,何謂拉丁方陣?就是在一個N × N的方陣之中,每一橫列、縱排均要有1~N,稱之為拉丁方陣,例如一個四階的拉丁方陣:

而數獨是延伸為9 × 9 的方陣,但是增加一個條件,就是方陣中再劃分9個3 × 3 的小方陣,每一個小方陣之中要有1~9,例如一個數獨:
 在此方陣中,每一橫排及直排均有1~9,所以數字和都一樣(= 45),可是魔方陣的條件是兩條對角線必須也是45,但此方陣的兩條對角線並沒有1~9都有(總和不等於45),不過魔方陣強調的是總和,因此每一排數字不一定要1~9,只要總和湊成45皆可,所以我們可以初步將此方陣作一調整。調整的原則為在同一小方陣內兩數字互調,直到調至所有橫列、直排及兩對角線總和都一樣為止,圖中圈起來的兩個數字為互調的數字:
調整後,方陣變成每一橫、每一列及兩條對角線總合均是45的方陣:
九階的魔方陣是由1至81構成,那麼我們要如何將此方陣變成1~81的數字呢?由於這方陣有9個1~9,我們只要稍動手腳,就可以將它變成1~81,例如:
我們要如何決定數獨方陣中的那一小格是屬於那一種變化呢?可以藉助三階魔方陣來輔助。現在將三階魔方陣套在數獨中:
於是乎,數獨可依此轉換如下:
將各數字加總即可得一九階魔方陣,每一橫、列及兩條對角線總合均為369。
三階魔方陣有八種,所以同一個基底的數獨可以變化出八種魔方陣。
【更詳細的內容,請參閱第524期科學月刊】

1 則留言:

王朝 提到...

数独是很有趣。现在手机游戏里有很多版本的数独,许多都非常经典。没事玩玩挺有意思的。