2013年3月1日

向量在高中數學課程的份量

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

去年底,教育部委託國家教育研究院為104年的十二年國教政策執行了「課綱微調」計畫,責令生物、化學、物理、地球科學和數學科,以99課綱為基礎,就「課程內容過量、過於艱深、課程安排的邏輯順序、橫向整合、縱向連貫、與大考中心考試內容的搭配等等困難與問」進行微幅調整。此工作仍在進行中,詳情可查詢本計畫的計畫書;關於數學科的階段性工作,可參考今年1月16日筆者在高中數學種子教師研習會場上所做的報告。

在數學科工作小組的討論會議中,針對「平面向量」的相關課題做了最多也最熱烈的討論:經歷兩次會議,總共超過四小時的深入思辯。在「微幅調整」的框架內,最後反應在課綱調整文件內的份量或許很少,但是工作同仁卻在這番討論之中,揭開了一個值得大家從長計議的根本問題:向量究竟有多重要?是否為高中數學之必需課題?

此處所談的「向量」特指平面向量與空間向量,並不包含線性代數領域裡的一般維度向量。以向量作力學上的推演,例如力的合成,自古希臘以來就有跡可尋。但是,將向量視為某種代數體系,並以此系統解決幾何或物理上的問題,從數學發展史的角度來說,全部發生在十九世紀中葉以後,而在廿世紀初才形成我們今天在高中課本和微積分課本裡所知的形式。本欄曾經以三篇的份量,敘說這段歷史。

我們一向主張,在認知心理學有了新證據以前,我們總應該參照數學發展史來估計學習數學的認知發展歷程。所以,數學的發展歷程,至少對此教育問題提供了兩條線索:
1. 平面向量在歷史上是不存在的,其性質被複數涵蓋。平面向量可以說是為了教學的目的而發明的:為了有效教導空間向量,將其「簡化」至平面。
2. 空間向量發生得很晚;舉例而言,它比三角學晚了至少300年,比三角函數晚大約100年,也比單變數多項式函數的微積分晚了大約200年。

第一條線索讓我們反省:其實,使用平面向量解決的所有數學(幾何)問題,都有更「基本」的方法可以處理。平面向量之所以受教師歡迎,可能是因為它「威力強大」。從歷史角度來看,平面向量威力強大的理由很明顯,因為它相當於拿著未來的武器參與過去的戰爭。當然,授予更高效率的工具並非壞事,我們的確不必凡事從根本做起。可是,如果顧慮學生的認知能力,以及不同性向學生的專業取向,就不能純粹就效率而考量課程的設計。

在這種猶疑不決的時刻,讓我們先看看別人怎麼做吧。除了香港以外,我沒有最近的跨國比較資料,僅能引用民國94年8月4日出版的《中小學數學科數學綱要評估與發展研究》報告書。這份文件做了美國加州、英國、新加坡、中國(北京標準)、韓國和日本的橫向比較。我們先做一個籠統的結論:這些國家(地區)都沒有將向量列入必修的數學課程【更詳細的內容,請參閱第519期科學月刊】

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