2011年12月1日

多項式與微分學的第一篇論文

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

謂多項式f(x )不過就是像x 2 2x 這樣的式子,其中的x 既不是未知數也不是變數,就是一個稱為「元」、可以像實數一樣運算的符號而已。令h x2 2x ,則h 0 稱為方程式,x就有了未知數的意義,然後可以玩「求根」的遊戲。當寫成h(x),則稱為多項式函數或二次函數,x就有了變數的意義,然後可以玩「函數圖形」的遊戲。

國中課程教了「配方法」,得知x2 2x (x1)21。國中生也多半知道二次函數的圖形是「拋物線」,例如yh(x)的圖形就是「以(1, 1)為頂點,開口向上的拋物線」,如圖一。此時,函數在x 1 處發生最小值-1


國中生知道如何用直式做多項式除法,並以橫式記成f ÷ p qr的形式。高中生必須進
一步知道,除法橫式可以寫成等式fpqr,稱為除法原理。然後,高中生學了一種特殊狀況的簡易除式算法,就是當p x c 這種一次式時,有所謂的綜合除法(其中c 為實數)。例如當g2x35x24x 2px 1時,則g ÷(x 1)的綜合除法算式如下:
得到了商q 2x2 3x 1 和餘r =- 1 。所以寫成g(2x2 3x 1)(x 1) 1 。而高中老師多半還會教學生再做q ÷(x 1),如
所以q (2x 1)(x 1) 0 ,代回g 得到
g ((2x 1)(x 1))(x 1) 1
(2x 1)(x 1) 2 1 。然而2x 1 2(x 1) 1 ,所以g 2(x 1)3 (x 1)2 1 ,稱g 為在x 1 處的泰勒形式或泰勒多項式。高中老師都會教學生使用泰勒形式估計多項式函數的值。例如若要估計g(1.12)至百分位,則因為三次項2(0.12)3 0.01 可以忽略不計,故g(1.12)(0.12)2 1 0.98 【更詳細的內容,請參閱第504期科學月刊】

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