2011年7月8日

高中數學程度的代數基本定理

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

我國的高中數學課程「有史以來」就包含了「代數基本定理」:
f (x)anxn+…+a1x+a0是一個n次複係數多項式函數,其中n1,則必存在一個複數z使得f (z)0

常見的延伸命題是:在複數域裡,n次實係數多項式函數必有n個根,其中複數根必然以共軛的形式成對出現;或者實係數多項式必有實係數的一次或(不可分解之)二次因式。因為大學線性代數的入門課程需要它來確認n階方陣必有n個複數的特徵值(線性代數課本通常也是敘述而不證明代數基本定理),使得這個定理有它存在於高中課程內的正當性。

許多早期的教科書提到,這個定理乃是高斯於1799 年首次證明的。但是,如果以後世的嚴格標準來看,高斯的證明有漏洞(再怎麼偉大的前輩數學家都難免被後進找到一兩個漏洞,但是皆無損於他們偉大的成就)。把同樣具有些微漏洞的證明算進來,則歐拉、拉格朗日、拉普拉斯都比高斯更早提出過證明。如今認為第一個「完全正確」的證明,是一名在巴黎經營書店的業餘數學家阿岡 (Jean-Robert Argand, 1768~1822)於1814 年發表的。

這個定理雖然掛著「代數」頭銜,卻其實是一個「複數」定理。它所斷言的,不是代數的性質,而是複數的性質。這並不是因為數學家喜歡亂取名字,而是因為「代數」這個詞,已經從200年或更早以前的通義,轉變成了一個數學學門的專有名詞。當牛頓談論函數的微分規則時、當高斯談論複數的運算規則時、當漢彌爾頓談論四元數的運算規則時,都說那是一套「代數」規則。以前的「代數」是通用名詞,泛指一套計算規則。而『代數基本定理』是指由複數計算規則所導出的一個基本性質:不是常數的複係數多項式函數必有複數根。

仔細檢驗之後,發現這個定理的「完全正確」證明,需要三種數學:
一、實數的完備性與連續函數在緊緻(compact)區域內的極值性質,
二、無窮等比級數的和,
三、複數的極式及其運算性質。

其中嚴格理論性的第一項的確不能在高中課程中交代,但是關鍵技術性的第二和第三項,卻是自然組高中學生已經學習的;就99課綱而言,屬於選修數學甲I第二章和選修數學甲、乙II第一章的內容。而第一項並非了解代數基本定理的關鍵,缺了它僅造成證明中專業數學家才能察覺、而一般人和初學者感到理所當然的「漏洞」。前面指出,就連歐拉、高斯這些偉大的前輩都曾忽略證明中的漏洞,我們更應該對高中課程裡留下的漏洞抱持寬容的態度。【更詳細的內容,請參閱第499期科學月刊】

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