2011年5月1日

支援前線


作者/游森棚

報載這個月有一年一度的「漢光演習」。演習有前線作戰,也有後勤支援。這個月我們來介紹類似「支援前線」的一個跳棋問題,這個有意思的問題已經有幾十年的歷史了,是英國數學家康威(Conway)所提出的,但是我在中文的科普書上似乎還沒有看到過,藉此篇幅和讀者分享。

問題是這樣的:考慮座標平面,下半平面的部分稱為大後方,上半平面是戰火瀰漫的前線。0 < y < 1 的長條部分是前線的第一層,1 < y < 2 的部分是前線的第二層,……,以此類推。現在突擊隊想要挺進前線,士兵的移動規則是用跳棋的方式,三格相鄰的A 、B 、C中,A、B有士兵。士兵A跨過相鄰的另一個士兵B 後落腳在C 處,然後士兵B 就犧牲。

後方顯然只要兩個兵,就可以挺進到前線第一層。那後方要準備多少個士兵,才能有人挺進到前線第二層?這也不難,只要四個。

後方最少要準備多少個士兵,要怎麼擺,才能有人挺進到前線第三層?這就要試一下才知道,答案是八個。下一個問題是,後方最少要準備多少個士兵,才能有人挺進到前線第四層?這就不容易了,答案是20 個。這幾個問題的答案和後方士兵的初始位置如圖一,讀者可以跳跳看,如何把一個士兵送到前線。

好,真正要問的問題是:後方最少要準備多少個士兵,才能有人挺進到前線第五層?

先憑直覺猜一下答案是多少50 、80 ,或120?有興趣的讀者可以在此停下來,動手試試看做出答案。

公布解答。答案是:「不可能跳到第五層」。也就是說,不管後方有多少士兵(有限多個),不管怎麼跳,就是不可能跳到前線的第五層。

這個答案如此違反直覺,實在令人難以置信。你想想,題目只要求送一個士兵到第五層,而且現在我們知道「只要 20 個」就能跳到第四層了,不是嗎?所以,再加把勁,多幾個人,不就可以跳到第五層了嗎?

錯!康威的答案說,不管準備多少個士兵都一樣。即使用人海戰術,準備一萬個,甚至一千萬、一億個士兵在後方都一樣,反正,你沒有辦法將一個士兵送到前線第五層。

我們來解釋這個有趣的結果。基本上想法是這樣的:讓每一個格子上都標一個數字,士兵所在的格子的數字就稱為這個士兵的重量,考慮跳來跳去時總重量的變化。【更詳細的內容,請參閱第497期科學月刊】

1 則留言:

SolarBear 提到...

阿! 好想知道喔~